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UNIÓN E INTERSECCIÓN DE SUCESOS

Asumiendo que ya sabes qué es un suceso, ahora vamos a jugar con varios de estos.

Suponemos para ello un experimento aleatorio de ejemplo.

Experimento aleatorio: “Analizar la edad de un individuo que pretende entrar en la discoteca”.

Bien, cualquiera puede llegar a la discoteca queriendo entrar.

Consideramos algunas posibles predicciones/sucesos:

¿Dónde está la gracia?

En que estos sucesos pueden jugar entre ellos en forma de unión e intersección.

¿Qué es una unión de sucesos?

Pues eso. Una unión.

Representada con el símbolo:

Dos o más sucesos se unen para generar un suceso compuesto por los anteriores.

Por ejemplo:

MENOR = PEQUEÑÍN  DIECISIETE

Este suceso ahora contiene a los otros dos.

El suceso MENOR contiene a los individuos que sean:

Es decir, contiene a todos los individuos hasta 18 años.

Cuando se da uno de los dos sucesos que lo componen, también se da el suceso padre que los contiene.

¿Qué es una intersección de sucesos?

Pues eso. Una intersección.

Representada con el símbolo:

Solo nos quedamos con los elementos que cumplen ambos sucesos a la vez.

Por ejemplo:

ADULTOS ELEGANTES = ADULTO  TRAJE

Ahora tenemos un nuevo suceso que contiene a los individuos que satisfacen el suceso:

Quedan excluídos todos los individuos mayores de 22 años que no llevan traje.

Quedan excluídos todos los individuos vestidos de traje que no sean mayores de 22 años.

Intersección de uniones

Por supuesto, ambos conceptos son cosas distintas.

Podemos jugar a hacer un remix con todos.

Yo voy a hacer una fiesta de gente guay.

Así que defino mi nuevo suceso para englobar sólo a la gente guay.

GENTE GUAY = (VEINTE ∪ VEINTIUNO)  BAÑADOR

Ahora el suceso GENTE GUAY contiene a todos los individuos que tengan

El resto de la people se queda fuera porque no es gente guay.

La probabilidad del nuevo suceso es distinta

Obviamente.

Al tener un suceso con mayor o menor número de elementos, la probabilidad de satisfacer el mismo es diferente.

Calcular probabilidad de la unión de sucesos

Está bastante claro que si el suceso resultante de la unión es la suma de varios sucesos, la probabilidad de esa suma será la suma de las probabilidades.

Piénsalo.

Para el lanzamiento de un dado.

Las probabilidades las conocemos, con la Regla de Laplace.

Suceso CUALQUIER NÚMERO = PAR IMPAR

P(CUALQUIER NÚMERO) = P(PAR) + P(IMPAR) = 0.5 + 0.5 = 1

Pero hay un problema, Watson.

¿Sí, cuál?

Cuando los sucesos que hemos unido tienen elementos repetidos, ya no podemos sumar las probabilidades.

Porque si sumamos probabilidades repetidas, nos estamos engañando a nosotros mismos.

Y eso es una tontería.

Las probabilidades son:

Considerando el suceso UNIÓN INÚTIL = MAYOR QUE DOS ∪ MENOR QUE CUATRO

P(UNIÓN INÚTIL) = P(MAYOR QUE DOS) + P(MENOR QUE CUATRO)

P(UNIÓN INÚTIL) = 4/6 + 3/6 = 7/6 > 1

¿Probabilidad mayor que 1?

Imposible: La probabilidad siempre está entre cero y uno.

El problema está en que hay elementos repetidos.

Al hacer la unión, el suceso resultante es:

Exacto, el suceso elemental “Sale el 3” estaba repetido en ambos sucesos.

Entonces, al sumar las probabilidades, estamos considerando su probabilidad dos veces.

Lo que hacemos, pues, es restar la probabilidad de los elementos repetidos.

Es decir, restar la probabilidad de la intersección.

La intersección de ambos sucesos es “Sale el 3”, que tiene probabilidad 1/6

Así:

P(UNIÓN INÚTIL) = P(MAYOR QUE DOS) + P(MENOR QUE CUATRO) – P(INTERSECCIÓN)

P(UNIÓN INÚTIL) = 4/6 + 3/6 – 1/6 = 6/6 = 1

Fácil, ¿no?

Calcular probabilidad de la intersección de sucesos

Para esto, hacemos un truco de magia.

Pero antes hay que actualizar la lista de hechizos.

El hechizo interseccionador se llama “Regla de la multiplicación”, y se puede aprender en el siguiente capítulo.

Seguir aprendiendo

Índice: Aprender probabilidad paso a paso.

Siguiente: ¿Qué es la regla de la multiplicación?.

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