Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS LINEALES DE ORDEN SUPERIOR

Ya hemos visto ecuaciones diferenciales lineales sencillas de orden uno.

función x incógnita derivada + función x incógnita = función

¿Pero qué pasa si aparece la derivada segunda o tercera o cuarta…?

Formalmente hablando, para que no se nos enfade ningún matemático, eso sería algo así:

a_{n}(x)y^{n)}+a_{n-1}(x)y^{n-1)}+\dots +a_{1}(x)y\prime +a_{0}(x)y=f(x)

Donde la letra n representa el orden de la ecuación.

Ver: ¿Qué es el orden de una EDO?.

¿Cómo encontramos la solución de una cosa tan exagerada?

Anatomía de una ecuación diferencial lineal de orden superior

Mirando la ecuación general representada arriba, llamaremos coeficientes a las funciones ai(x) que están multiplicando a la incógnita y sus derivadas.

Suponemos que tenemos una ecuación cuyo coeficiente acompañante de la derivada de mayor orden es la función a(x)=1.

Si no tenemos esa ecuación, la podemos obtener dividiendo toda la ecuación por el coeficiente que haya en su lugar.

En el caso anterior, la obtendríamos dividiendo toda la ecuación entre an(x).

Verdad.

Y nos quedaríamos con una ecuación diferente.

y^{n)}+b_{n-1}(x)y^{n-1)}+\dots +b_{1}(x)y\prime +b_{0}(x)y=g(x)

¿Qué pasa aquí?

Que tenemos una ecuación diferencial ordinaria lineal cuya incógnita derivada de mayor orden está acompañada por la función constante uno.

El resto de versiones derivadas y también la versión no derivada de la incógnita, están acompañadas por otros coeficientes cualesquiera.

Esto lo queremos así y no de otra forma, porque en base a este modelo vamos a definir ciertos teoremas matemágicos respectivos a todas las ecuaciones que tengan precisamente esa forma.

Teoremas

Sea una ecuación diferencial lineal ordinaria de orden n de la forma:

y^{n)}+f_{n-1}(x)y^{n-1)}+\dots +f_{1}(x)y\prime +f_{0}(x)y=g(x)

Sean tanto las funciones coeficientes f(x) como la función g(x) funciones continuas en un intervalo abierto I.

Sea x0 un número perteneciente al intervalo I.

Tenemos que:

[1] Un Problema de Valores Iniciales sobre esta ecuación y en el punto x0, tiene una única solución que está definida al menos en ese intervalo I.

[2] Nuestra ecuación en cuestión tiene infinitas soluciones que están definidas al menos en ese intervalo I.

[3] La solución general de la ecuación no homogénea con g(x)≠0 se puede expresar como suma de la solución general de la ecuación diferencial homogénea asociada y una solución particular de la ecuación completa no homogénea.

Jugando para enterarnos

Dada la EDO lineal:

x^{2}y\prime \prime +2y\prime +6y=cos(x)

Tenemos este asunto:

Pregunta

¿Podríamos asegurar que un PVI cualquiera para esta EDO tiene una única solución?

Respuesta

Escribimos la EDO de forma que la derivada de mayor orden (en este caso y”) vaya acompañada del coeficiente función constante f(x)=1.

Para eso, dividimos todo por el coeficiente actual que tenga, en este caso x2.

y\prime \prime +\frac{2y}{x^{2}}\prime +\frac{6y}{x^{2}}=\frac{cos(x)}{x^{2}}

Observamos que los coeficientes y la función independiente son continuos en todo ℜ excepto en los puntos donde la variable toma el valor cero.

Cualquier PVI que cojamos para esta ecuación, con la condición fijada en cualquier punto distinto de cero, atendiendo al teorema [1] apenas mencionado, tiene una solución única.

Nota: no sabemos qué pasará con un PVI tomado sobre el punto cero.

¿Por qué la ecuación tiene infinitas soluciones?

Porque podemos construir infinitos PVI distintos.

Por ejemplo, uno para cada uno de los infinitos puntos del intervalo I.

Muy bien.

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