Ecuaciones Diferenciales

CÓMO RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL HOMOGÉNEA

Ahora que hemos visto qué forma tienen las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de orden superior a uno, vamos a ver cómo resolver una que sea homogénea.

Homogénea: que sea homogénea quiere decir que la función independiente que no es coeficiente, sea cero.

Pero espera, ¿las homogéneas no eran las que tenían un término independiente tal que f(tx,ty)=f(x,y)?

Sí, porque la palabra homogénea es que es muy homogénea y al parecer sirve para todo.

Pero no hay que confundir las cosas.

Hay dos casos:

Es decir, las lineales homogéneas de orden superior son todas las EDO de la forma:

y^{n)}+f_{n-1}(x)y^{n-1)}+\dots +f_{1}(x)y\prime +f_{0}(x)y=0

Vale.

Teorema importante

Si yn, yn-1, … y1 son n soluciones de una EDO lineal homogénea de la forma mencionada, tal que sus coeficientes cumplan las condiciones del teorema de existencia y unicidad de las EDO lineales para un PVI en un intervalo abierto I, se verifica que todas estas soluciones son linealmente independientes si:

det\begin{bmatrix} y_{1}(x)~~ \dots ~~y_{n}(x) \\ y_{1}\prime (x) ~~\dots ~~y_{n}\prime (x) \\ y_{1}^{n-1)}(x)~~ \dots ~~y_{n}^{n-1)}(x)\end{bmatrix}\neq 0

A este determinante se le llama Wronskiano de y1, …, yn, y es el determinante de la matriz formada por todas las soluciones de la EDO lineal homogénea puestas en una fila, y con las posteriores n-1 derivadas puestas en las filas siguientes, de forma sucesiva, de forma que la matriz es cuadrada y tiene determinante.

¿Por qué queremos saber eso?

Porque la solución general de una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea es el paquete de todas las combinaciones lineales posibles de n soluciones linealmente independientes (siendo n el orden de la EDO que tenemos entre manos).

Y bueno, pues esa será nuestra herramienta para comprobar si las soluciones son linealmente independientes.

Vale, todo está muy bonito.

Pero a mi ahora no me interesan soluciones linealmente independientes ni vino en vinagre.

Quiero saber cómo calcular las soluciones particulares, y ya luego veré qué pasa con la solución general.

Y eso es una buena forma de proceder, ahora que sabes lo que buscas.

Resolver ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes

Que los coeficientes son constantes quiere decir que no son variables.

Es decir, que son funciones que toman valores constantes, números invariantes.

Estudiaremos en primer lugar una EDO de orden 2, dado que el caso es análogo para cualquier orden superior.

y\prime \prime + ay\prime +by=0

Donde a y b son números reales cualesquiera.

¿Cuántas soluciones tiene?

Hasta ahora ya sabemos decir que cada PVI asociado a esta ecuación, tendrá una única solución, porque los coeficientes están todos definidos en un intervalo abierto I cualquiera (claro que sí, porque son números y se quedan quietos hasta el infinito y más allá).

También sabemos decir, en consecuencia, que la ecuación tiene infinitas soluciones definidas en (-∞, +∞).

¿Cuántas soluciones necesitamos para obtener la solución general?

Necesitamos dos (porque la EDO es de orden dos) soluciones linealmente independientes para expresarlas todas, puesto que las demás serán combinaciones lineales de ambas.

Si la EDO fuese de orden ocho, necesitaríamos ocho soluciones particulares linealmente independientes.

Procedimiento para buscar las soluciones

Esto que haremos, sirve para buscar soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales homogéneas de orden cualquiera, pero que tengan todos sus coeficientes constantes.

Los matemáticos que estaban investigando el caso con mucho entusiasmo, se dieron cuenta de una cosa muy especial.

Y es que probaron muchas soluciones distintas hasta averiguar que había una solución que en este caso funciona de fruta madre.

Se trata de la solución mega especial de la forma y=erx.

¿Y esta lagartija matemática cuándo es solución?

Pues vamos a sustituir en la ecuación para poder verlo.

Pero claro que sí señora antes necesitamos la derivada.

y’=rerx

Y la derivada segunda:

y”=r2erx

Ah, pues muy bien, vamos a sustituir:

r^{2}e^{rx}+are^{rx}+be^{rx}=0

Y sacamos factor común lo que podamos:

e^{rx}[r^{2}+ar+b]=0

Nosotros sabemos que erx nunca va a valer cero.

Porque un número tan postivo y lindo como lo es el número e, elevado a lo que él quiera, nunca va a ser cero.

Nota a quien no lo sepa: e0=1

Vale.

¿Y qué pasa con eso?

Pues que si eso no es cero, pero el producto de eso por otra cosa sí lo es, es porque esa otra cosa es cero.

Entoces:

[r^{2}+ar+b]=0

Esta se llama la ecuación característica de la EDO lineal homogénea.

Y es una ecuación normal de segundo grado cuyas soluciones vienen expresadas así:

r=\frac{-a\pm \sqrt{a^{2}-4b}}{2}

Y de aquí en adelante pueden pasar tres cosas.

Si la EDO fuese de orden superior a dos, pasarían más cosas, pero esto sirve a modo de ejemplo enseñador.

Vamos a verlos.

CASO UNO

El polinomio de la ecuación característica tiene dos raíces reales distintas.

Entonces tenemos dos soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea.

Donde r1 y r2 son las dos raíces distintas que hemos obtenido.

Si lo haces y le calculas el determinante Wronskiano, vas a ver que sale distinto de cero.

Son dos soluciones linealmente independientes perfectas.

La solución general de la ecuación entera entonces serían todas las combinaciones lineales posibles:

y=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}

Para todos los valores de c1 y c2.

CASO DOS

La soluciones de la ecuación característica es el r doble.

Es decir, una sola raiz, con multiplicidad algebraica doble.

Una de las soluciones es la misma que antes:

Y la otra no puede ser la otra porque la otra es la misma.

Pero es que pasa una cosa muy buena y barata, que es que solo hay que multiplicar la anterior por la variable independiente y ¡plas!, ya tenemos otra que funciona igual de bien.

Compruébalo si quieres.

Para comprobar si es solución, vas a ver que tienes que sustituir en la ecuación y ver si esta se verifica.

También, si haces el determinante Wronskiano anteriormente definido de ambas soluciones, verás que este te dice que las soluciones son siempre linealmente independientes.

CASO TRES

Mira que también te puede pasar un caso mágico en el que tus raíces van a ser complejas llenas de números imaginarios.

Pues ya está, tenemos dos solu-super-ciones.

Lo que pasa es que estas dos soluciones son funciones que toman números reales y los devuelven complejos.

Y eso a nosotros no nos hace ni una poquita de gracia.

Por eso vamos a hacer un hechizo matemágico para quitarle esa imaginación.

Escribiremos y1 and y2 de otra forma.

Sabiendo que por definición eKi = cos(K)+i·sen(K)

Y teniendo en cuenta que:

eαx+βi = eαx·eβi

Tenemos que:

Que siguen siendo soluciones raritas, pero que ahora vamos a ensaladear muy bien.

Porque yo sé que jugar a hacer combinaciones lineales con mis soluciones no altera la situación.

Por un lado hago una cuenta que me interesa:

y_a=\frac{y_1 + y_2}{2}=e^{\alpha x}cos(\beta x)

Por otro lado hago otra cuenta que me interesa:

y_b=\frac{y_1 - y_2}{2i}=e^{\alpha x}sen(\beta x)

Y que nuevamente son dos soluciones normalitas más reales que un pan y que yo sé muy bien que son linealmente independientes porque al hacer el determinante Wronskiano de ambas me sale un número distinto de cero.

Eso deberías comprobarlo si tu interés es practicar.

Si no no, por supuesto.

Saludos.