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REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN DE PROBABILIDADES

En el cálculo de probabilidades, a veces surge la necesidad de calcular la probabilidad de que ocurran varias cosas.

Hablando en calidad suprema, eso quiere decir: “Que se den varios sucesos simultáneamente”.

O lo que es lo mismo, calcular la probabilidad de una intersección de sucesos.

Pongamos el ejemplo siguiente:

¿Cuál es la probabilidad de haberlas acertado todas?

No vamos a ser tan avariciosos.

Mejor empezamos por averiguar cuál es la probabilidad de acertar una pregunta por separado.

Para ello usamos: La regla de Laplace.

Sabemos que los requisitos para que sea válida la regla de Laplace, son dos:

  1. Conocer todos los posibles casos: Tenemos 5 opciones posibles. Ni más ni menos.
  2. Ninguno de los casos tiene preferencia: Contestamos al azar, ninguna respuesta tiene más preferencia.

La probabilidad de acertar una de las preguntas al azar es de:

\frac{casos~favorables}{casos~totales} = \frac{1}{5}

Bien. Eso ya lo sabíamos.

¿Pero cuál es la probabilidad de acertarlas todas si contestamos todas al azar?

Regla de la Multiplicación

Multiplicamos la probabilidad de acertar la primera, por la probabilidad de acertar la segunda, por la probabilidad de acertar la tercera, por la probabilidad de acertar la cuarta.

\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{625}=0.0016

La probabilidad de acertar las cuatro preguntas, contestando al azar, es del 0.16%

¿Por qué todo esto es así?

Imagina que la probabilidad es un bocadillo de jamón.

El bocadillo de jamón entero, es probabilidad 100%.

La probabilidad del 100% es la certeza.

Sabes algo. Sabes que estás vivo ahora. Tienes tu bocadillo de jamón entero.

Pero no sabes con seguridad si vas a estar vivo dentro de 5 minutos.

Algo le ha dado un bocado a tu bocadillo de Jamón: la incertidumbre del universo.

Se ha comido tu seguridad. Le ha dado un bocado a tu certeza.

Pero no se lo ha comido entero, solo le ha dado un bocadito.

Sabes que es MUY probable que estés vivo dentro de 5 minutos.

¿Cuánto es MUY?

Pues muy mucho, por ejemplo un 98% por decir algo.

Pero no sabes si vas a estar vivo dentro de medio año.

Eso ya es un bocado más grande.

Ya se han comido un gran trozo de tu bocadillo de jamón.

De tu certeza.

¿Y qué coño carajo diantres tiene que ver esto con la regla de la multiplicación?

Bastante.

Estás sentado en una montaña, mirando las nubes, con tu bocadillo de Jamón.

Imagina que quieres entrar en una cueva, que está perdida en esa montaña.

La probabilidad de que encuentres la entrada es del 50% por ejemplo.

Pero sea como sea, encontrarás la puerta de entrada solo con medio bocadillo.

Con media certeza.

Ahora imagina que no solo tienes que entrar en la cueva, sino que además tienes que encontrar un tesoro que está dentro de esa cueva.

La probabilidad de que encuentres el tesoro, ya no cuenta con el 100% de tu bocadillo.

Solo con la mitad.

Porque para encontrar la puerta de entrada, la incertidumbre de la realidad ya se ha comido medio bocadillo.

Ahora, toda la probabilidad de encontrar el tesoro, vuelve a empezar.

Pero empieza con lo que tienes ahora, que es la mitad de lo que tenías antes.

Ahora estás dentro. Sí.

Pero sigues no estando seguro de que encontrarás el tesoro.

No hay certeza.

La certeza se la va comiendo la incertidumbre a medida que aumentan los azares posibles.

Por eso se multiplica.

Porque la probabilidad Siempre está entre el Cero y el Uno.

Se multiplica, porque multiplicar por números que están entre el cero y el uno, significa cortarle un trozo a la cosa que se está multiplicando, significa empequeñecerla, significa comerse el bocadillo.

Si tuvieses que encontrar una moneda de oro dentro de una caja roja dentro de una cueva de cualquiera de las montañas del planeta, ¿llegarías con tu bocadillo, o no?

De la misma forma, acertar todas las preguntas al azar en un test que tiene cuatro preguntas con cinco opciones cada una, es relativamente probable. Hay un 0.16% de probabilidad.

Acertar todas las preguntas en un test con mil preguntas de cuarenta y dos opciones cada una, sigue siendo posible, aunque mucho menos probable.

¿Por qué?

Porque la serpiente de la regla de la multiplicación se come tu bocadillo.

(\frac{1}{42})^{1000} = Muy~muy~poquito

Pero más que nada, que ya es algo.

Resumen: ¿Multiplicar y punto?

No.

Sí.

Pero no.

La realidad siempre es más compleja de lo que parece.

Sucesos independientes

Cuando hemos hecho el ejemplo con las preguntas del test, estábamos obviando que está claro que acertar una pregunta no afecta en nada a acertar o no la pregunta siguiente.

Cuando un suceso A: “acertar la primera pregunta” no afecta a un suceso B: “acertar la segunda pregunta”, se dice que ambos sucesos son independientes.

Cuando los sucesos son independientes, sí, para calcular la probabilidad de la intersección (que se den ambos a la vez) se multiplican las probabilidades y basta.

P(B\cap A) = P(B) \times P(A)

Sucesos dependientes

Suponemos que el profesor es un cabrón de muy mal gusto.

Te dice: "Oye amigo. Si aciertas la primera pregunta, te digo la respuesta de la segunda pregunta. Pero si fallas, te pego un tiro en la cabeza".

La probabilidad de acertar la segunda pregunta es ahora bien distinta que antes.

Antes, era cuestión de azar.

Ahora, es cuestión de un azar un poco distinto.

¿Y qué cambia? ¿Ya no se multiplican? ¿Y qué pasa con el bocadillo de jamón? ¿quién se lo come ahora?

Sí se multiplica.

¡Bien!

Pero ya no multiplicamos la probabilidad de acertar una por la probabilidad de acertar la otra

Ahora, multiplicamos la probabilidad de acertar una por la probabilidad de acertar la otra condicionada a lo que haya pasado en la anterior

P(B\cap A) = P(B) \times P(A|B)

Probabilidad condicionada.

¿Qué es eso?

Pues… otro asunto, que aparece en el siguiente capítulo.

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