INICIO

¿QUÉ SIGNIFICA VERDADERAMENTE UNA DERIVADA?

¿Qué representa el concepto de derivada?

Cuando uno está tratando con funciones matemáticas y asuntos varios relacionados, se choca de frente con el concepto de derivada.

Y cuando uno quiere jugar con derivadas, lo mejor que puede hacer es enterarse primero de qué es una derivada.

¿Qué es una derivada?

Una derivada es una función matemática asociada a otra función matemática.

Por eso, antes de saber qué es una derivada tienes que comprender qué es una función.

Cuando ya sabes eso, ya sabes más de la mitad.

Una derivada de una función cualquiera es otra función distinta que nos da información acerca de esa función cualquiera.

La derivada de la función "Pato" es una función derivada que nos da información acerca de la función "Pato".

Vale.

¿Qué información nos da la derivada de una función?

Nos da información acerca de la tasa de variación de esa función.

¿Tasa de variación?

Sí.

Nos da información de cuánto cambia una función en una zona determinada.

¿Cuánto cambia?

Sí.

Imagina que una función es un camino irregular que va subiendo y bajando.

Por ejemplo la función y=cos(4x)[3x2+sen(x)-x3+4x]

funcion bonita

En torno a los diferentes valores que va tomando la variable de la función, esta crece y decrece más o menos rápido.

Con rápido nos referimos a que en menos avance de la variable (eje horizontal), el cambio (eje vertical) es más fuerte.

Bueno, pues la derivada es una función que nos dice precisamente eso:

¿Cuánto cambia la función original en los valores cercanos a uno que nos interese?

Por ejemplo:

Para nuestra función.

Nosotros le damos el valor a la función derivada y ella nos lo va a decir.

¿Y la derivada cómo sabe eso?

Pues la derivada lo sabe porque ese es su trabajo.

La derivada se llama derivada porque es una función que se deriva – que viene de – la función original.

La derivada conoce la tasa de variación porque ella solita lo calcula.

¿Cómo?

Pues uniendo puntos infinitamente cercanos mediante una recta y mirando la pendiente (inclinación) de esa recta.

Mira:

derivada

Imagínate que la función es una escalera con muchos escalones. Unos más altos que otros.

Pues la derivada mira un escalón cualquiera y dice:

Y así con todas.

Entonces, la función derivada contiene toda la información sobre las pendientes de todas las infinitas rectas que se podrían dibujar en todos los infinitos escalones a lo largo de toda la función original.

Crecimiento o decrecimiento

La derivada de una función en un punto de esta nos puede decir, aparte de que la pendiente en ese punto sea muy grande o muy pequeña, si esta es creciente o decreciente.

Así podemos saber si la función está andando hacia arriba o hacia abajo.

Hacia arriba o hacia abajo es una forma bocadillosa de decir “incremento” o “decremento” de los valores devueltos.

¿Qué representa la segunda derivada?

¿Qué?

La segunda derivada. ¿Qué representa?

Pues la segunda derivada es una derivada de una derivada.

Si la derivada misma es una función, pues nosotros, naturalmente, podemos calcularle la derivada otra vez.

¿Y qué representa?

Pues lo mismo: la tasa de variación.

Vamos a imaginar

Imagina que tienes una función que se llama Posición y cuya variable es el tiempo.

Esa función nos dice la posición de algo en un tiempo cualquiera.

La derivada de la función Posición es una función que mide cuánto cambia esa posición con respecto al tiempo.

Representa la tasa de variación de la posición.

Es decir, que en este caso la derivada representa la función Velocidad.

¿Y qué representaría la segunda derivada?

Pues la segunda derivada es en realidad la derivada de la función Velocidad.

¿Cuánto cambia la velocidad a la que se mueve algo en un tiempo cualquiera?

Ahora voy más rápido, después voy más lento.

¿Cómo se llama eso?

Exacto: aceleración.

La aceleración es un cambio en la velocidad.

Cuanto más cambia la velocidad en un punto mayor es la aceleración en ese punto.

Es decir, la derivada de nuestra función Velocidad es una función Aceleración.

¿Y la derivada de la derivada de la derivada?

Pues más de lo mismo.

Todas las derivadas representan una tasa de variación con respecto a la función original.

Observando las derivadas podemos obtener informaciones.

Y para eso se usan las derivadas: para deducir propiedades de la función original.