Ecuaciones Diferenciales

MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS PARA RESOLVER ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES

En este curso de ecuaciones difereciales hemos visto que a veces cuando miramos la ecuación, podemos intuir una posible forma que van a tener las soluciones.

En el caso anterior de la ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes hemos visto que era una muy buena idea ensayar las soluciones de la forma y=erx, porque llevaban a obtener soluciones válidas.

Pues hay más casos en los que esa técnica super buena de ensayar cosas nos puede salir muy bien.

Cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas

Para afrontar el ejercicio, vamos a darnos cuenta de la forma que tienen estas ecuaciones:

y^{n)}+f_{n-1}(x)y^{n-1)}+\dots +f_{1}(x)y\prime +f_{0}(x)y=g(x)

Nos concentraremos en el término g(x).

¿Qué forma tiene?

Según la forma de este, vamos a ensayar un tipo de solución u otro.

Para eso tenemos una tabla.

Espera… ¿me estás diciendo que este método consiste en probar soluciones a partir de una tabla?

Sí.

Pero esa tabla, que consta de unas pocas opciones, abarca la mayoría de los casos.

Por eso es un buen método.

La clave aquí es no tomárselo demasiado en serio.

Vale.

¿Qué tabla me vas a enseñar?

Esta.

Forma de g(x) Forma de la solución a ensayar
Pn(x)·eax Qn(x)·eax
sen(kx) ó cos(kx) A·sen(kx)+B·cos(kx)
eax·sen(kx) ó eax·cos(kx) A·eax·sen(kx)+B·eax·cos(kx)
Pn·eax·sen(kx) ó Pn·eax·cos(kx) Qn·eax·sen(kx)+Pn·eax·cos(kx)

Donde Pn y Qn denotan polinomios genéricos de grado n.

Un polinomio genérico es la estructura de un polinomio, sin especificar números concretos.

C_{n}x^{n}+C_{n-1}x^{n-1}+\dots +C_{1}x+C_{0}

Donde las Ci denotan constantes reales.

Un polinomio genérico de grado por ejemplo tres sería así:

Ax^{3}+Bx^{2}+Cx+D

Y de forma similar en cualquier otro caso.

Interpretando la tabla

[1] Puede ser un polinomio de grado n multiplicado por una exponencial…

…en cuyo caso probaríamos con un polinomio genérico de grado n multiplicado por esa misma exponencial.

[2] Puede ser un seno o un coseno de una constante multiplicada por la variable independiente…

…en cuyo caso probaríamos con un polinomio genérico de grado cero (lo que viene siendo una constante, piénsalo) multiplicado por el seno de la misma cosa y también otro polinomio genérico de grado cero multiplicado por el coseno de la misma cosa.

Nota: Se prueba con seno y coseno sumado porque al derivar los senos y cosenos varias veces (que es lo que hacen las incógnitas de una ecuación diferencial de orden superior) estos van intercambiándose. Por eso aunque haya uno hay que probar con una generalización que considere ambos.

[3] Puede ser una exponencial multiplicada por un seno o un coseno de algo…

…en cuyo caso probaríamos con una generalización de exactamente eso.

Y lo mismo se aplica para el caso de la fila [4].

Si no lo vas pillando vuelve a leer, porque no hay otra forma de pillarlo que pillándolo.

¿Cómo ensayar la posible solución?

Pues en este método, debemos considerar siempre una cosa muy importante:

Ninguno de los sumandos de la supuesta solución que vamos a ensayar puede ser igual que ninguno de los sumandos de la solución general de la ecuación diferencial homogénea asociada.

Sí, ya sé que puede parecer muy difícil así en forma palabrística.

Pero es muy fácil.

La ecuación homogénea asociada en estos casos siempre va a ser una ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea.

Sabemos, porque ya lo hemos visto aquí, que las soluciones generales de esas ecuaciones se representan como una combinación lineal de tantas soluciones particulares independientes como orden tenga la ecuación.

Bien, pues lo que pasa con este método, es que la solución a ensayar no puede ser ninguno de los sumandos de dicha combinación lineal.

Lo que haremos en tal caso, es multiplicar por x.

¿Te suena?

Sí, ya hemos hecho la misma cosa para resolver ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de coeficientes constantes.

Recapitulando

Vale.

¿Podemos mirar un ejemplo resuelto para comprenderlo?

Sí, claro.

Ejercicio resuelto del método de los coeficientes indeterminados

Obtener una solución particular para la ecuación:

y^{IV)}+3y\prime \prime =3x^{2}

Procedemos en primer lugar a calcular la solución general de la ecuación lineal homogénea asociada, siguiendo el método que ya hemos aprendido aquí.

EDO Homogénea asociada:

y^{IV)}+3y\prime \prime =0

Ecuación característica:

r^{4}+3r^{2} =0

Buscamos los valores de r para que eso sea verdad.

r^{2}(r^{2}+3) =0

Bien.

Como la ecuación homogénea es de orden cuatro, sabemos que tenemos que haber conseguido cuatro raíces.

Con esas, vamos a construir cuatro soluciones que además sabemos que serán linealmente independientes.

Con lo que la solución general de la ecuación homogénea asociada es:

YGH = c1 + c2x + c3sen(3x) + c4cos(3x)

Ahora que tenemos esa solución, vamos a proceder con el método de los coeficientes indeterminados.

Miramos la g(x) para ver qué solución podríamos ensayar.

Como la g(x) es 3x2 y eso es un polinomio de grado dos…

…vamos a ensayar un polinomio genérico de grado dos.

Esto es, vamos a decir que probaremos la función Ax2+Bx+C.

Pero antes miro, no me lanzo.

¿Alguno de los sumandos es parte de la solución general de la ecuación homogénea asociada?

Sí, en la solución general hay una constante suelta (c1), y en el polinomio genérico también (C).

Multiplicamos toda nuestra expresión a ensayar por la variable independiente.

Con lo que esta se transforma en Ax3+Bx2+Cx.

Otra vez.

¿Alguno de los sumandos es parte de la solución general de la ecuación homogénea asociada?

Sí, en la solución general hay una constante multiplicada por x (c2x), y en el polinomio genérico a ensayar también (Cx).

Multiplicamos toda nuestra expresión a ensayar por la variable independiente, otra vez.

Con lo que esta se transforma en Ax4+Bx3+Cx2.

¿Alguno de los sumandos es parte de la solución general de la ecuación homogénea asociada?

No.

Bien, podemos proceder a probar la expresión como solución, y ver si funciona.

Procedo a intentar calcular los valores de A, B y C que verifiquen que mi expresión de prueba sea solución particular de la EDO.

Para hacer eso, sustituiré mi expresión en la EDO y miraré qué pasa.

Para hacer eso, necesito algunos ingredientes.

Cuatro derivadas de la solución a ensayar.

Procedo a sustituir en la EDO.

24A+3[12Ax^{2}+6Bx+2C]x^{2}2

De lo que me queda:

24A + 6C + 18Bx + 36Ax^{2}=3x^{2}

Para sacar los valores de A, B y C tenemos que saber que dos polinomios son iguales cuando lo son sus coeficientes.

Tenemos entonces tres ecuaciones:

De lo que tenemos que:

Y con lo que finalmente nuestra solución particular es:

Y_{P}=\frac{1}{12}x^{4}-\frac{1}{3}x^{2}

Perfecto.