Ecuaciones Diferenciales

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Para saber qué es una ecuación diferencial, lo mejor es saber primero qué es una ecuación.

Cuando en matemáticas hablamos de ecuaciones, estamos hablando de igualdades.

Una cosa es igual a otra.

Una cosa = Otra

El primer miembro de una ecuación es igual al segundo.

Miembro: cada elemento de la ecuación. Hay un miembro a la izquierda y un miembro a la derecha.

Una ecuación es una balanza de cosas matemáticas que tienen el mismo valor.

¿Para qué?

Una ecuación así porque sí puede parecer una tontería.

¿Para qué quiero yo dos cosas iguales? Tiro una y me pesa menos la mochila. ¿No?

Pues si te vas de viaje sí.

Pero si no no.

Porque la utilidad del asunto viene cuando en la ecuación hay elementos desconocidos.

También llamados incógnitas.

Jugando con las relaciones entre los elementos de los miembros de la ecuación, podemos descubrir qué esconden las incógnitas.

No sé cuánto cuesta una pizza, pero sé que he pedido tres y me han cobrado 27 rupias.

Tendríamos una ecuación:

27 rupias tiene el mismo valor que tres veces el precio de una pizza.

3 veces el precio de una pizza es igual a 27 rupias.

3x=27

La incógnita aquí es el precio de una pizza.

Lo llamamos x porque cuando no sabes cómo se llama llámalo x.

Aunque lo puedes llamar como gustes, por ejemplo z o zanahoria o klebschuh.

Eso es una cagada de ecuación, muy fácil.

Pero nos sirve para recordar un par de cositas:

Bien.

Parecerá una tontería, pero ponerse a estudiar las ecuaciones diferenciales sin saber antes qué es una ecuación, eso sí que es tonto.

Entonces…

¿Qué es una ecuación diferencial?

Una ecuación diferencial es una ecuación de toda la vida, pero que contiene derivadas de una función.

Aviso: Esto es un artículo de ecuaciones diferenciales, no de funciones ni de derivadas. Pero igual que no se puede hacer un bocadillo de jamón sin pan, pues no se puede aprender a solucionar ecuaciones diferenciales sin saber antes lo que son las funciones y sus derivadas.

Como recordatorio rápido:

Suponiendo que conoces bien ambos artilugios matemáticos, vamos a seguir a lo nuestro.

Empezaremos por estudiar ecuaciones diferenciales que solo tienen una función de una variable.

Se las conoce como Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO).

Ejemplo de ecuación diferencial ordinaria

Pues…

\frac{dy}{dx}=0

Tenemos un primer miembro con la derivada de la función y con respecto a su variable x.

Y tenemos un segundo miembro con el valor cero.

Vemos que es una ecuación sencillita.

Pero por ahí vamos a empezar para enterarnos.

El miembro de la izquierda vale lo mismo que el miembro de la derecha.

Es decir, que la derivada de la función y con respecto a su variable x tiene que ser cero, para que esa igualdad sea cierta.

El interés práctico sería ahora encontrar quién es esa función y.

¿Qué significa resolver una ecuación?

Resolver una ecuación significa encontrar los valores que puede tomar el elemento desconocido (incógnita) de forma que la igualdad sea cierta.

En el caso de la pizza era fácil.

3x=27

Debería estar bastante claro que resolver esa ecuación significa darse cuenta que el elemento desconocido x vale 9.

Nueve rupias vale una pizza.

Vale. Bien.

¿Pero quién es la incógnita en una ecuación diferencial ordinaria?

Pues si has tratado con funciones ya sabes que hay una cosa que se llama variable de la función.

La variable de una función es la loquilla del asunto, que toma los valores que le da la gana.

Que varía, que cambia. De ahí el nombre variable.

Que que hace lo que quiere. De ahí el adjetivo independiente.

En la función y=2x la variable –el elemento cambiante– es la x.

Y así con todas.

Todo el mapa de valores generados por inputs en la variable y outputs de la expresión constituyen la función.

En las ecuaciones diferenciales no nos hemos ido a ningún otro planeta. Sigue siendo la misma cosa.

Hay una igualdad donde hay cosas y donde algunas de esas cosas son funciones y derivadas de dicha función.

Bien.

Pues como la variable es la loquilla del grupo y ya hemos dicho que va a tomar los valores que ella quiera y pueda, pues lo que nosotros estamos buscando es la función misma.

En concreto, estamos buscando todas las funciones que pueden hacer cierta -verificar- la ecuación.

Porque puede haber una, o varias, o miles de millones.

O ninguna, naturalmente.

Entonces en una EDO la incógnita es la función cuya derivada aparece en la ecuación.

Y las soluciones son todas las funciones que pueden ocupar el lugar de la incógnita para que la ecuación se cumpla.

Y si miramos nuestro ejemplo super ultra minimalista de antes…

\frac{dy}{dx}=0

Nos podemos dar cuenta rápidamente de que aquí lo que tenemos como incógnita es una función y que depende de la variable x, y cuya derivada tiene el valor cero.

Si miramos bien también podemos darnos cuenta de varias soluciones posibles.

Por ejemplo:

y=2

O por ejemplo,

y=7

O por ejemplo,

y=5223

Es decir, que todas las funciones cuyo valor sea una constante, cumplen la igualdad, puesto que la derivada de cualquier constante es un cero. Siempre.

En este caso la solución general es:

y=cte

Donde cte es una constante cualquiera.

Y cualquier solución particular sería cualquier particularización de la solución general.

Por ejemplo,

y=327

Algunas veces nos interesa encontrar una solución particular, y otra veces nos interesa encontrar la forma genérica de todas las soluciones.

Ya veremos dónde y cuándo y por qué.

Formas de representar una EDO

Pues formas de representar las cosas hay todas las que queramos.

Las dos formas más usuales de representar una EDO son estas:

Con las derivadas bien representadas.

\frac{dy}{dx}+3x^2=8x

Con las derivadas simplificadas.

y{\prime}+3x^2=8x

Si sabemos de qué estamos hablando, la representación es lo de menos.

Usa lo que te guste. Siéntete bien.

¿Qué pasa cuando no veo la variable de la función?

Por ejemplo:

y{\prime}+3y=9

Sé que tengo una función que se llama y, pero no sé quién es la variable.

Pues no pasa nada. Cuando uno no tiene restricción tiene libertad.

En este caso, la libertad de elegir un nombre molón. Por ejemplo t, o p, o q, o almendra.

\frac{dy}{dalmendra}+3y=9

Y no pasa nada.

Orden de una ecuación diferencial ordinaria

El orden de una EDO es simplemente un concepto.

Básicamente representa el grado de profundidad de la ecuación.

Y profundidad es un decir.

Lo que representa en realidad es el grado de la mayor derivada que aparece en la ecuación.

Si la función incógnita de la ecuación aparece derivada siete veces, tendríamos una EDO de orden 7.

Por ejemplo,

y+3(y{\prime})^{6}+5y{\prime \prime}=4x

Aquí tenemos una EDO de orden dos, porque la mayor derivada de la función que tenemos es el 5y”.

Mira bien el ejemplo para enterarte de lo que sí es y sobre todo de lo que no es el orden.

Conocer el orden nos servirá para aplicar un método de resolución u otro.

Expresión general de una EDO de orden n

Si nos hemos enterado de lo que es una ecuación diferencial ordinaria, comprenderemos perfectamente la siguiente forma de expresar cualquier EDO genérica de orden n.

F(x,y,y{\prime },\ldots ,y^{n)})=0

Básicamente tenemos un potaje con todos los elementos que aparecen en una EDO.

Cualquiera de ellos puede aparecer o no.

Pero naturalmente, para que la ecuación sea de un orden n, la n-ésima derivada deberá estar en la ecuación.

¿Para qué sirven las ecuaciones diferenciales?

En las universidades suele servir para aprobar un examen y olvidarse de ellas.

En la vida real sirve para resolver cálculos sobre aspectos de esa realidad.

La realidad se estudia mediante la ciencia.

Y para estudiarla se hace necesario cuantificarla.

Y se cuantifica mediante la matemática.

A veces surgen aspectos que tenemos que calcular, y ahí vienen las matemáticas a echarnos un cable.

En concreto, las ecuaciones diferenciales se usan por ejemplo en biología para comprender el crecimiento de una población de organismos o en el estudio de la propagación de enfermedades. En economía, para el análisis aproximado de la oferta y demanda de un cierto producto o servicio. En química para estudiar ciertos procesos químicos.

Se usan para estudiar algunos movimientos físicos o para analizar el comportamiento eléctrico en un circuito.

Y aunque sea verdad que en el día a día no se usan para nada, muchas cosas que usamos en el día a día sí que han sido elaboradas por ingenieros que han usado estas ecuaciones.

Así que un buen brindis y dos cervezas, que esto es cosa seria.

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Saludos.