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INGREDIENTES DE UN EXPERIMENTO ALEATORIO

Ya has visto cómo funciona el asunto probabilístico con la Regla de Laplace

Pero eso no es todo.

El juego de probabilidades es más de jugar con lo que se sabe que de calcular lo que no se sabe.

Por ejemplo

Yo tengo una empresa de patatas. Me envían 100 patatas de una granja rara. Yo no tengo ganas de mirar todas las papas para ver si están bien o no. Entonces lo que hago es seleccionar 10 patatas al azar e inspeccionarlas. Si ninguna patata está en malas condiciones, acepto el lote. En caso contrario, lo rechazo. Si el lote contiene un 5% de patatas envenenadas, ¿cuál es la probabilidad de que mi empresa acepte el lote?

Pues para eso existe un amplio abanico de artilugios palabrístico-matemáticos.

A este juego, el de calcular una probabilidad de algo, se le llama analizar un experimento aleatorio.

Experimento Aleatorio

Un experimento aleatorio consiste en tomar un fenómeno de la vida y aprender cuál es la probabilidad de lo que nos interese, conociendo ciertos datos.

Siempre que vamos a analizar la probabilidad de algo, hay que definir un experimento a analizar.

Esto no es así porque sea así, sino porque así es una buena forma de hacerlo.

Pero antes de jugar hay que aprender cómo funciona el juego.

Tenemos que conocer los ingredientes de la ensalada.

Empezamos por saber qué es un suceso.

Suceso

Un suceso es un acontecimiento. Un algo que pasa.

En probabilidad, un suceso es la predicción de un posible resultado de un fenómeno aleatorio.

Se dice que se da un cierto suceso, cuando sucede lo que ese suceso predecía.

Se da el suceso “ha salido número par” cuando al lanzar un dado sale el dos, o el cuatro, o el seis.

A las cosas por su nombre

Si a ese suceso “Que al tirar un dado salga número par” se le pone un nombre, por ejemplo Plátano, podemos afirmar que:

Guay.

Tipos de sucesos

Para poder hablar con propiedad se hace necesario clasificar los sucesos en:

Ejemplo: Al lanzar un dado.

El suceso “Va a salir el 5” es un suceso elemental.

El suceso “Va a salir un número impar” es un suceso compuesto por varios sucesos elementales:

Si se da cualquiera de los elementales, se está dando el suceso compuesto.

Todos los posibles resultados de un experimento aleatorio; es decir, todos los sucesos elementales de un experiemento aleatorio, constituyen el espacio muestral.

Espacio muestral

El espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles.

Por ejemplo:

Experimento aleatorio “Paraguas”: Analizar la lluvia en el día actual.

Está claro que solo podrían pasar dos cosas.

Todos los sucesos elementales posibles son:

Y no hay más sucesos que valgan.

Podrías inventar otras palabras:

Pero toda esa palabrería sigue siendo lo mismo.

En este experimento aletorio hay DOS resultados canónicos posibles.

DOS sucesos.

Los puedes llamar como quieras, pero siempre van a ser dos.

Pues bien, el espacio muestral del experimento aleatorio “Paraguas” es ese:

Ω = {Sí, No}

Exacto, el Espacio muestral se representa con la letra Omega.

Entre corchetes, todos los sucesos posibles, por su nombre.

¿Todos los experimentos aleatorios tienen dos sucesos?

Nope.

Para el experimento aleatorio “Lanzar un dado”: Lanzar un dado y observar el número que sale.

Sucesos:

Ω = {PATO, RANA, ROJO, LIMÓN, CINCO, CIELO}

Seis sucesos en el espacio muestral.

¿Por qué esos nombres tan extravagantes?

Para que el lector sepa que:

  1. siempre hay que nombrar los sucesos.
  2. puede nombrar cada suceso como le salga del rabo, mientras deje bien claro en qué consiste el suceso.

Todo está bien mientras no dé lugar a confusión, porque una cosa que da lugar a confusión es una cosa confusa.

Y una cosa confusa no está bien a menos que la confusión sea el objetivo de la cosa.

¡Probabilidades para todos!

La probabilidad total se distribuye.

La distribución de probabilidad es el reparto de la probabilidad total entre todo el espacio muestral.

En el caso del experimento aleatorio “Paraguas”.

La probabilidad de que llueva se reparte entre los dos sucesos: Sí va a llover o No va a llover.

La probabilidad de que pase cualquier cosa, es siempre 1.

“Estoy seguro segurísimo al 100% de que va a llover o no, una de las dos”. Certeza.

Nota: Recuerda que la probabilidad siempre se representa entre cero y uno.

¿Y la probabilidad de cada suceso por separado cuál es?

Según la regla de Laplace habría sido del 0.5 (50%) para cada suceso.

Pero no.

En este caso un suceso tiene más probabilidad que el otro.

Cuando esto pasa, se dice que son sucesos no equiprobables.

En la mayoría de los casos reales tratamos con sucesos no equiprobables.

La distribución de probabilidad es un concepto que viene a ayudarnos con esto.

Y es muy fácil.

Distribuir la probabilidad significa Repartir el uno.

Cogemos esa certeza, el cien por cien de seguridad, y lo repartimos entre todos los resultados posibles, todos los sucesos, a lo largo de todo el espacio muestral.

En el caso de que nuestro experimento “Paraguas” lo estemos realizando en Londres en un día de invierno, la distribución de probabilidad podría ser algo así.

Naturalmente la probabilidad del espacio muestral siempre tiene que sumar 1.

Pues está claro que siempre va a pasar algo.

Si la distribución total no sumase 1 estaríamos diciendo que existe una posibilidad que no hemos contemplado en el espacio muestral.

Entonces nuestro espacio muestral está mal definido.

Variables aleatorias

Algo variable es algo que puede variar.

Algo que puede variar es algo que puede tomar diferentes valores.

Algo variable aleatorio es algo que puede tomar diferentes valores aleatoriamente.

Cuando no sepas su nombre, “llámalo X”

Pues bien.

Tenemos X, que puede tomar diferentes valores de forma aleatoria.

¿Y para qué coño diantres rayos y centellas quiero una variable aleatoria?

Para variablealeatoriear por ejemplo.

Nahh.

En el estudio de probabilidades, se usan las variables aleatorias para guardar en ellas valores que vienen del resultado de un experimento aleatorio.

¿Para qué?

Para facilitar tanto los cálculos como su comprensión.

Consideremos el experimento aleatorio “Lanzamiento”: Lanzar una moneda dos veces y analizar el número de caras que salen.

TODOS los sucesos elementales son:

Ω = {CC, CX, XC, XX}

Ahora viene una señorita variable aleatoria X, y recoge todos los sucesos del espacio muestral.

A cada suceso, la variable aleatoria le asigna un valor.

Como en nuestro experimento hemos dicho que estamos interesados en el número de caras, pues vamos a asignarle a la variable el número de caras que han salido en cada suceso.

¡Exacto! La variable aleatoria es una función.

Una función es una máquina matemática que coge una cosa y nos devuelve otra.

Ver mejor: ¿Qué es una función?

Coge un número y nos devuelve otro.

Coge un valor y nos devuelve otro.

Nuestra variable aleatoria X, mira el resultado de nuestro experimento aleatorio y nos devuelve el número de caras que han salido.

Una función muy inteligente, ¿verdad?

La variable aleatoria nos ayuda a observar lo que verdaderamente nos interesa.

En este caso, el número de caras.

Para nuestro experimento aleatorio, la variable aleatoria es una función que se fija en los resultados, pero en vez de decirnos el resultado, nos da directamente el número de caras: cero, uno, o dos.

Mágico.

¿Pero para qué?

Para ahora poder decir:

“Oye, si lanzo una moneda dos veces, ¿cuál es la probabilidad de que salga 1 cara?”

Tendríamos que mirar nuestra variable aleatoria, y decir.

“Oye señorita X, ¿cuál es la probabilidad de que tomes el valor 1?”

¿Y cómo se mira eso?

Bien.

Aquí estamos.

Ahora, nos inventamos una función que asigne valores de probabilidad a cada valor de la variable aleatoria.

Es decir, nos inventamos una función que mire cada valor de nuestra variable aleatoria y diga:

¿Y cómo llamamos a esta función?

Pues sí: Función de masa de la probabilidad.

La función que nos dice la masa – la cantidad – de probabilidad de un valor de una variable aleatoria discreta.

¿Ein? ¿Discreta?

Sí.

Hay variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas.

Las discretas tienen números sueltos:

Las continuas tienen una cinta infinita de números

Igual ahora solo estamos mirando variables aleatorias discretas.

No worries.

Vale.

¿Pero cómo? ¿La variable aleatoria es una función y ahora hacemos una función de una función?

Exacto.

La variable aleatoria es una función que mira los resultados del experimento y les asigna un valor que nos interese.

La función de masa de probabilidad es una función que mira todos esos valores, y nos dice su probabilidad.

Acerca de las variables aleatorias:

Acerca de la función de masa de probabilidad:

La suma de todos los valores que toma la función de masa de probabilidad siempre es exactamente 1. Obvio, pues estamos repartiendo la probabilidad total entre todos los valores de la variable aleatoria. Al recoger y sumar todos los cachitos que hemos repartido, tenemos que tener el total: uno.

Experimento aleatorio “Paraguas”

Nosotros teníamos un experimento aleatorio.

Definición del Experimento aleatorio:

Definición de sucesos elementales:

Espacio muestral:

Ω = {SÍ, NO}

Definición de nuestra variable aleatoria:

LL: “LLuvia”.

Recordamos que la variable aleatoria es una función que asigna valores a cada elemento del espacio muestral.

Hemos elegido valores palabrísticos.

Podrían haberse puesto números.

Pero una palabra vale más que mil números.

Definición de nuestra función de masa de probabilidad:

Recordamos que la función de masa de la probabilidad es función de nuestra variable aleatoria.

Función: f(LL)

Esta función, tomará dos valores. Uno para cada valor que toma la variable aleatoria.

A cada valor, le asigna una probabilidad.

Observamos que la suma de todos los valores es igual a 1.

¿Para qué sirve esto?

Pues para que ahora venga alguien y pregunte:

“Oye, voy a salir hoy, ¿me llevo el paraguas?”.

Y tú puedas decirle:

“Mira todo lo que puede pasar en tu variable aleatoria y pregúntale a la función de masa de probabilidad, que ella conoce la cantidad de probabilidad que tiene cada posibilidad”.

Entonces tú miras tu variable aleatoria LL, y ves dos consejos:

Entonces, le preguntas a la función de masa de probabilidad.

Oye, señorita f(LL), ¿cuál es la probabilidad de “Va a llover, coge el paraguas”?.

Y ella te dice:

Pues… f(“Va a llover, coge el paraguas”) = 0.7

Y tú puedas saber que te conviene llevarte el paraguas, porque hay un 70% de probabilidad de lluvia hoy.

Básicamente.

¡Vaya tontería!

¿No era más fácil decir directamente que hay un 30% de probabilidad de que no llueva y un 70% de que sí?

¿Para qué tanto enredo?

Pues en este caso sí.

Pero este asunto funcional, se usa en casos donde la variable aleatoria puede tomar cien, mil, treinta millones o incluso incontables valores.

Vale, pero… ¿dónde está calculada la probabilidad?

Cierto.

Hasta ahora no hemos calculado nada.

Solo hemos puesto variables y funciones y nos hemos inventado los valores.

Pues la cosa es que, como dijimos al principio, el mundo de probabilidad no es solo calcular una probabilidad.

La probabilidad está en el aire.

Es una realidad intrínseca a cada fenómeno.

Basta con observar estadísticamente para saber la probabilidad de una cierta cosa.

Lo que de verdad es importante en el mundo de la probabilidad es saber jugar con las probabilidades.

¿Qué?

Te dicen:

"Hay un semáforo programado para permanecer en verde durante el 20% del tiempo. Para un conductor que pasa a menudo por allí, calcula la probabilidad de que a la quinta vez que llegue esté en verde, sabiendo que las cuatro veces anteriores no lo estaba."

Ya te han dicho la probabilidad de que el semáforo esté encendido.

Pero lo que resulta más difícil, es contestar a la pregunta, ¿cierto?

Bien.

Pues ahí es donde interviene realmente todo este asunto de distribuciones y demás inventos.

Ensalada de conceptos para conceptualizar la situación y jugar con ella.

Seguir aprendiendo

Índice: Aprender probabilidad paso a paso.

Siguiente: Unión e intersección de sucesos.

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