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FACTORIAL. VARIACIONES. PERMUTACIONES. COMBINACIONES.

Cuando los números juegan a jugar con ellos mismos.

Y milongas varias, se presentan a continuación.

Factorial

Un factorial no es más que un concepto matemático, que se ha definido porque resulta necesario para realizar ciertas operaciones.

Un factorial es un producto de un número por sí mismo y todos sus anteriores.

Se representa con una exclamación, como si fuese un número exagerado.

Cuando uno hace una fiesta de cumpleaños y vienen 5 personas, luego le dice a sus amigos.

Wow! La mejor fiesta del mundo, vinieron 120 personas!

Eso es un factorial, 5 exagerado!.

5! = 5\times 4\times 3\times 2\times 1 = 120

Y así con cualquier número.

Por definición, y para evitar pajas mentales, el factorial de cero es 1.

Variaciones

Hoy las patatas están calientes. Mañana están frías.

Eso es una variación de caliente y frío.

Hoy las patatas están frías. Mañana están calientes.

Eso es otra variación de caliente y frío.

Una variación es una ordenación de elementos de varias formas distintas.

Escribe una contraseña de cuatro dígitos, usando los números del 0 al 9.

Eso es una variación de 10 cifras tomadas de cuatro en cuatro.

¿Tomadas de cuatro en cuatro?

Sí. Hay 10 cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) y tomamos 4, para hacer una contraseña.

Las varias formas posibles son muchas.

¿Cuántas contraseñas distintas puedo inventarme?

Pues depende.

¿De qué depende?

De si considero la repetición de los elementos o no.

Está claro que si puedo repetir las cifras tengo muchas más posibilidades que si no puedo repetirlas.

Si puedo repetirlas, tengo:

10 cifras posibles x 10 cifras posibles x 10 cifras posibles x 10 cifras posibles

Es decir,

10^4 = 10000

Diez mil contraseñas posibles.

De forma generalizada, observamos que una variación con repeticiones se calcula como una potencia de base la cantidad de elementos disponibles y exponente la cantidad de elementos a tomar.

m^n

Donde m es la cantidad de elementos que tengo, y n la cantidad de elementos que tomo.

Si no puedo repetir los elementos, tengo:

10 cifras posibles x 9 cifras posibles x 8 cifras posibles x 7 cifras posibles

Es decir,

10\times 9\times 8\times 7 = 5040

Cinco mil y pico de posibilidades.

De forma generalizada, observamos que una variación sin repeticiones se calcula como un trozo de factorial, de tantos factores como elementos vamos a tomar.

Para calcular un trozo de factorial. Dividimos el factorial que queremos por el trozo que no queremos, de forma que el segundo trozo queda anulado.

\frac{m!}{(m-n)!}

En nuestro caso anterior:

\frac{10!}{(10-4)!} = \frac{10!}{6!} = \frac{10\times 9\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1}{6\times 5\times 4\times 3\times 2\times 1} = 10\times 9\times 8\times 7 = 5040

Fácil.

Permutaciones

Una permutación es una variación en la que entran todos los elementos, sin repetirse.

Y se calcula de la misma manera.

\frac{m!}{(m-n)!}

Pero como tomamos todos los elementos, m y n son iguales, por lo que m-n es cero.

\frac{m!}{(0)!} = \frac{m!}{1} = m!

Más fácil todavía.

¿De cuántas formas puedo ordenar a 8 personas en una fila?

m! = 8! = 40320

Pues 8 personas se pueden ordenar en una fila (permutar) de más de 40 mil formas diferentes.

Primero tú luego yo luego ella luego el primo y los hermanos. O primero los hermanos luego yo y tú y él. O primero él y luego el resto. O primero todos menos yo y luego yo. Y así hasta 40 mil.

Combinaciones

Hasta ahora hemos ordenado diferentes elementos, considerando que nos importaba el orden en el que los colocamos.

No es lo mismo la contraseña 12345 que la contraseña 54321, ¿cierto?

A veces, tenemos que hacer operaciones en las que no nos importa el orden de selección de los elementos.

Si voy a elegir participantes para un equipo de baloncesto, no me importa si elijo primero a Manolo y luego a Lucía, que si elijo primero a Lucía y luego a Manolo. Al final todos van a jugar en el mismo equipo.

Bien.

Pues esta ordenación -ignorando el orden- se llama combinación.

Se calcula igual que una variación, pero excluyendo todas las posibilidades repetidas.

Así:

\frac{m!}{n!\times (m-n)!}

A este número se le llama número combinatorio o coeficiente binomial. Y se representa así:

\binom{m}{n} = \frac{m!}{n!\times (m-n)!}

Se lee como m sobre n.

¿Diferencias?

¿Cuántas contraseñas de 8 cifras puedo hacer con 8 cifras distintas permitiendo repeticiones?

Variación con repetición

8^8 = 16777216

¿Cuántas contraseñas de 8 cifras puedo hacer con 8 cifras distintas sin reptirlas?

Variación sin repetición de todos los elementos: Permutación

8! = 40320

¿Cuántos equipos de 8 personas puedo hacer con 8 personas?

Combinación

Obviamente, 1.

\binom{8}{8} = \frac{8!}{8!\times (8-8)!} = 1

¿Cuántas contraseñas de 5 cifras puedo hacer con 8 cifras distintas permitiendo repeticiones?

Variación con repetición

8^5 = 32768

¿Cuántas contraseñas de 5 cifras puedo hacer con 8 cifras distintas sin reptirlas?

Variación sin repetición

\frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{(3)!} = 6720

¿Cuántos equipos de 5 personas puedo hacer con 8 personas?

Combinación

Ya no es tan obvio.

\binom{8}{5} = \frac{8!}{5!\times (8-5)!} = \frac{8!}{5!\times (3)!} = 56

Ah, vale.