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PROBLEMA RESUELTO DE TERMODINÁMICA | RENDIMIENTO, CALOR Y ENTROPÍA

Hola caracola, ahora aquí en este preciso instante de la vida, voy a desarrollar la solución de un problema de termodinámica.

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El enunciado propuesto es el que sigue:

Problema a resolver

Un motor eléctrico que opera en estado estacionario consume 10 A con un voltaje de 220 V.

El eje gira a 1000 rpm y el momento del par en el eje es de 16 N·m.

La superficie del motor se encuentra a 47ºC y el ambiente a 20ºC.

Determine:

  1. El rendimiento del motor eléctrico.
  2. La velocidad de transferencia de calor del motor a los alrededores.
  3. La velocidad de generación de entropía del motor.
  4. La velocidad de aumento de entropía del universo.

Ok.

Solución paso a paso

A ver.

Se nos habla de un motor eléctrico; es decir, de un artilugio que consume electricidad y produce la rotación de un eje, con las correspondientes irreversibilidades asociadas.

motor-electrico

Afrontaremos el ejercicio haciendo dos balances:

balances-energia-universidad

…porque los balances nos sirven para relacionar elementos conocidos con elementos desconocidos.

En concreto, los elementos conocidos con los que estamos tratando son:

Sí, mira que bien.

De todas formas, empezamos por calcular el rendimiento.

Ver: ¿Qué representa el rendimiento?

En nuestro caso, el rendimiento del motor es el cociente entre lo que obtengo partido por lo que doy.

Yo doy potencia eléctrica y a cambio obtengo potencia mecánica de giro en el eje.

rendimiento-motor-resuelto

La potencia eléctrica consumida por el motor eléctrico se calcula así:

potencia-motor-calcular

Y la potencia mecánica desarrollada por el eje se calcula como el producto del momento del par (M) por la velocidad angular (ω) del mismo.

bachillerato-problemas

Nótese que hemos usado factores de conversión para pasar la velocidad angular que estaba en revoluciones por minuto a unidades del sistema internacional en radianes por segundo.

Básicamente una revolución o vuelta son 2π radianes igual que un minuto son 60 segundos.

Perfecto, y lo que tenemos como resultado para el cálculo del rendimiento pedido por el enunciado del problema es:

ejercicio-problema-termodinamica-facil

Es decir, un rendimiento de entorno al 76%.

Awesome.

Lo que quiere decir que de toda la potencia eléctrica consumida, el motor solo aprovecha un 76% para mover el eje.

¿Y qué pasa con el resto?

Pues el pobrecito lo pierde debido a los rozamientos internos entre las piezas que lo componen.

La cosa es que el motor se va calentando, y eso se traduce en una pérdida de energía en forma de calor que se va hacia el entorno.

Lo que nos pide el segundo apartado del enunciado es que calculemos la velocidad a la que se transfiere calor a los alrededores.

Y hemos dicho que el motor opera en estado estacionario, que significa que las variables de estado se mantienen constantes a lo largo del tiempo.

Aplicando el primer principio.

motor-estacionario-resuelto

Por lo que:

resuelto-problema-fisica

Es decir,

ejercicio-resuelto-bachillerato

Hay 524,5 julios por segundo (watios) transferidos desde el motor a los alrededores.

El signo negativo hace referencia a que es el sistema termodinámico – en nuestro caso el motor – quien cede el calor.

El tercer apartado lo resolveremos aplicando un balance de entropía, así:

regimen-estacionario-ejemplo

Despejando tenemos que:

entropia-generada-ejercicio

Y si hacemos esa operación en la calculadora, nos dará que la entropía generada por el motor por unidad de tiempo es:

generacion-potencia

Vale.

Y procedemos también con un balance de entropía para contestar al último apartado.

El ambiente, a una temperatura (T0) menor que la de la superficie del motor (Ts), recibirá el calor disipado por este (Qambiente = -Qmotor) sin un cambio significativo de temperatura.

Justo en los alrededores del motor habrá un gradiente de temperatura, pero en una zona suficientemente lejana al mismo, la temperatura del ambiente puede considerarse uniforme, suponiendo entonces que no existen irreversibilidades ambiente = 0).

balance-entropia-ejemplo

Entonces, tenemos que el aumento de entropía del universo es igual a la entropía que desde el motor se transfiere hacia el ambiente.

transferencia-entropia-problema-universidad

Y si calculamos el valor obtenemos:

entropia-ejercicio-solucionado

Okay, pero ¿por qué es ligeramente mayor que el valor anterior?.

Buena pregunta.

Hemos dicho que la cantidad de entropía que aumenta el universo iba a ser equivalente a la que genera el motor.

Pero sucede que hay una ligera generación de entropía extra debida a las irreversibilidades que se dan en la frontera del sistema termodinámico que tenemos entre manos.

Ah, ¿y sale ahí solito?.

¿No podemos demostrarlo con cuentas?

Sí.

Realicemos el balance de entropía del universo, manteniendo el balance de entropía del motor.

cuentas-formulas-bachillerato

Que conduce a:

problema-ejercicio

Ah, de acuerdo.

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