Ejercicio resuelto Teorema Probabilidad Total

Ejercicio resuelto Teorema Probabilidad Total

A continuación vamos a resolver paso a paso un ejercicio de probabilidad.

Problema de probabilidad a solucionar

Una compañía del hermano del sobrino de mi prima se dedica a construir placas base para ordenadores. Con la idea de mantener unos rigurosos niveles de calidad, se analizan e inspeccionan cada una de las placas base producidas.

Del total de las placas fabricadas, el 60% se consideran de primera calidad, el 25% de segunda calidad y el 15% restante de tercera calidad.

Además se conoce la información sobre las placas que han sufrido reclamaciones por funcionamiento inadecuado en un periodo inferior a tres años, resultando un 10% para las de primera calidad, un 15% para las de segunda calidad y un 20% para las de tercera.

Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que una placa escogida al azar sufra una reclamación antes de tres años?

Demasiada palabrería. Tenemos que releer el problema para enterarnos de qué va todo.

Ejercicio que queremos resolver

Una empresa fabrica cosas (llámense Placas).

Se inspeccionan todas las Placas.

Definen tres tipos de calidad (A, B y C).

  • El 60% son de calidad A.
  • El 25% son de calidad B.
  • El 15% son de calidad C.

Se estudiaron las reclamaciones durante un tiempo de 3 años.

  • El 10% de las placas de calidad A recibió reclamaciones.
  • El 15% de las de calidad B, también.
  • El 20% de las de calidad C, también.

Nos preguntan la probabilidad de que una placa al azar sufra una reclamación durante el mismo tiempo.

Resolver el ejercicio paso a paso

Definiremos el experimento aleatorio.

Experimento Aleatorio: "Seleccionar una placa al azar".

Definiremos nuestro espacio muestral (Ω).

Ω={P1,P2,...,PN}

Donde Pi denota que la i-ésima placa ha sido seleccionada.

Donde PN es la última placa de las que hay.

No sabemos cuántas hay.

Y eso no nos importa.

Diremos que hay N Placas.

Observamos que es un espacio muestral finito y equiprobable.

Exacto, que no se sepa cuántas hay no quiere decir que no sea finito.

Sabemos que no es infinito, porque no van a producir infinitas placas.

Definimos un suceso a estudiar:

Sea R: "La placa seleccionada ha sufrido una reclamación en ese tiempo".

¿Por qué definimos ese suceso?

Porque es precisamente ese el suceso al que queremos calcularle la probabilidad.

¿Por qué lo llamamos R?

¿Y por qué no?

¿Podría llamarse de otra forma?

Sí.

Calcular la probabilidad del suceso definido

Lo haremos de tres formas diferentes, para que el lector pueda aprender y tener una visión global del asunto.

PRIMERA: De forma razonada y adherida a la comprensión de los conceptos.

Nos han dado un resumen estadístico acerca de las placas en cuestión.

  • El 60% son de calidad A y un 10% de estas han sufrido reclamación.
  • El 25% son de calidad B y un 15% de estas han sufrido reclamación.
  • El 15% son de calidad C y un 20% de estas han sufrido reclamación.

Que es lo mismo que:

  • 0.6 de la unidad son placas de calidad A.
  • 0.25 de la unidad son placas de calidad B.
  • 0.15 de la unidad son placas de calidad C.

Y estadísticamente, las reclamaciones totales se reparten como:

  • Reclamaciones a placa Calidad A: 0.1 x 0.6 de la unidad.
  • Reclamaciones a placa Calidad B: 0.15 x 0.25 de la unidad.
  • Reclamaciones a placa Calidad C: 0.2 x 0.15 de la unidad.

Vemos que las reclamaciones totales sobre la unidad son:

Suma de las reclamaciones sobre las placas de cada calidad:

Es decir:

0.1 x 0.6 + 0.15 x 0.25 + 0.2 x 0.15 = 0.12 de la unidad.

Piénsalo bien antes de avanzar.

Estadística y Probabilidad

Recordemos que son casi la misma cosa.

  • La estadística es lo que conocemos/sabemos de lo que ha pasado.
  • La probabilidad es lo que esperamos/creemos/suponemos que va a pasar.

Siendo la probabilidad una cantidad relativa a la unidad, que habla de eso que esperamos/creemos/suponemos.

Basándose en lo que conocemos/sabemos.

Podemos entonces volver a leer el último bloque como:

  • Probabilidad de reclamación en placa A: 0.1 x 0.6
  • Probabilidad de reclamación en placa B: 0.15 x 0.25
  • Probabilidad de reclamación en placa C: 0.2 x 0.15
  • Probabilidad de reclamación en cualquier placa: 0.12

Entonces, repitiendo la pregunta:

¿Qué probabilidad hay de que la placa seleccionada al azar haya sufrido una reclamación?

El 12%.

O de forma formal, P(R)=0.12.

SEGUNDA: Utilizando directamente la Regla de Laplace.

Para eso necesitamos saber primero dos cosas:

  • Ingrediente 1: Cantidad de casos favorables.
  • Ingrediente 2: Cantidad total de casos posibles.

Vale.

Ingrediente 1: ¿Cuántos son los casos favorables al suceso?

Todos aquellos en los que la placa seleccionada ha sufrido una reclamación.

Nosotros ya tenemos esos datos.

Camuflados, pero los tenemos.

De nuestro resumen estadístico.

  • El 60% de N son de calidad A y un 10% de estas han sufrido reclamación.
  • El 25% de N son de calidad B y un 15% de estas han sufrido reclamación.
  • El 15% de N son de calidad C y un 20% de estas han sufrido reclamación.

Que es lo mismo que:

  • 0.6N son placas de calidad A.
  • 0.25N son placas de calidad B.
  • 0.15N son placas de calidad C.

La cantidad total de reclamaciones tiene esta frecuencia:

  • Reclamaciones a placa A: 0.1 x 0.6N
  • Reclamaciones a placa B: 0.15 x 0.25N
  • Reclamaciones a placa C: 0.2 x 0.15N

La suma de todos ellos, es el número de casos favorables al suceso R.

Piénsalo bien antes de avanzar.

Ingrediente 2: ¿Cuántos son los casos totales posibles?

Si miramos nuestro espacio muestral, se observa que tenemos N placas.

Por tanto, aplicando el cociente de la regla de Laplace:

P(R)=\frac{(0.1)(0.6N)+0.15(0.25N)+0.2(0.15N)}{N}=0.12

Es decir,

P(R)=0.12.

TERCERA: Aplicando el Teorema de la Probabilidad Total.

Observamos que se puede particionar el espacio muestral en tres sucesos tales que la placa seleccionada sea de cada una de las tres calidades.

  • Suceso A: “La placa seleccionada es de calidad A”.
  • Suceso B: “La placa seleccionada es de calidad B”.
  • Suceso C: “La placa seleccionada es de calidad C”.

Y observamos también que:

  • Ninguno de los sucesos A, B, C tiene probabilidad cero, porque los tres son subconjuntos de Ω no vacíos.
  • Los sucesos A, B y C son disjuntos dos a dos, porque la placa seleccionada no puede ser de dos calidades distintas al mismo tiempo.

Es decir, se verifican las tres hipótesis necesarias para poder aplicar el Teorema de la Probabilidad Total.

Por lo que:

P(R)=P(A)P(R\mid A)+P(B)P(R\mid B)+P(C)P(R\mid C)

Del resumen estadístico ya varias veces mencionado, tenemos que:

  • P(A)=0.6
  • P(B)=0.25
  • P(C)=0.15

Y de la estadística de reclamaciones, tenemos que:

  • Probabilidad de una reclamación habiendo seleccionado A es del 10%.
  • Probabilidad de una reclamación dado el suceso B es del 15%.
  • Probabilidad de una reclamación condicionado al suceso C es del 20%.

Es decir,

  • P(R|A)=0.1
  • P(R|B)=0.15
  • P(R|C)=0.2

Con lo que nuestra expresión se queda en:

P(R)=(0.6)(0.1)+(0.25)(0.15)+(0.15)(0.2)

Que, efectivamente, es 0.12.

P(R)=0.12.

Eso demuestra que hay muchas formas de afrontar una situación.

Y que el estudio de la probabilidad no se basa en aprender fórmulas, sino en dominar conceptos.