INICIO

EJERCICIO RESUELTO DE PROBABILIDAD | EXTRACCIÓN SIN REPOSICIÓN

Ejercicio resuelto de extracción sin reemplazamiento.

Enunciado

Se extraen sin reposición tres fichas de una caja que contiene cuatro rojas y seis blancas. Si X es la variable aleatoria: “número de fichas rojas extraídas”, halle la función de probabilidad de X.

Ataque palabrístico

Mirar el problema con otros ojos. Ojos de rana.

Se sacan tres fichas, de una en una. Y se busca la función de probabilidad de una variable aleatoria que está mirando el número de fichas que son rojas. Como estamos sacando tres fichas, pues la variable aleatoria X toma exactamente 4 valores:

Y la función de probabilidad – o de masa de probabilidad – asocia una probabilidad a cada uno de esos valores.

Solucionando el asunto

Podríamos dibujar un árbol de probabilidad y contar qué cosa pasa en cada caso. Eso está guay si tenemos un par de fichas, como es el caso. Pero si tuviésemos un millón trescientas doce fichas, dibujar un árbol de probabilidad sería demasiado aburrido. Y nos llevaría como mínimo un día o dos o tres o nueve.

Lo que vamos a hacer es descubrir nuestro espacio muestral. Todo lo que podría pasar. Todas las posibles extracciones de tres fichas que podrían hacerse.

Como tenemos 10 fichas, pues en la primera extracción podemos extraer 10 fichas.

En la segunda extracción, hay 9 posibilidades, porque una ficha ya no está.

En la tercera, hay 8 posibilidades, porque ya hemos quitado 2 fichas del juego.

Es decir, que en total hay 10 veces 9 veces 8 veces posibles variaciones de realizar una extracción sin reemplazamiento de tres fichas, de ese total de diez.

Eso hace un total de 720.

Para saber más sobre mezcla de posibilidades de casos mira el artículo: Variaciones y combinaciones.

Variable aleatoria

Nuestra variable aleatoria X está obligada a mirar el número de fichas rojas.

Podríamos pararnos a escribir todas las variaciones y contar cuántas veces hay fichas rojas, pero eso sería una pérdida de tiempo demasiado cagante.

Nosotros vamos a averiguar una forma de saber cuántas variaciones contienen cero fichas rojas, cuántas variaciones contienen una ficha roja, y cuántas variaciones contienen n fichas rojas. Pues es eso lo que cuenta la variable aleatoria: el número de fichas rojas extraídas.

Para saber eso, se hace necesario dividir el proceso de extracción en tres partes.

O lo que es lo mismo.

Vale.

rojas(n)=\binom{4}{n}\times\binom{6}{3-n}\times 3!

Donde n, naturalmente, va de cero a 4. Pues no podemos sacar más de 4 fichas rojas de una caja con 4 fichas rojas.

Bravo.

Sustituyendo n por los valores que toma X, obtenemos:

Es decir, hay 216 variaciones de las 720 totales, en las que hay dos fichas rojas. E igual con el resto.

Dado que cualquiera de las 720 variaciones tienen la misma probabilidad, nos encontramos en un espacio muestral equiprobable.

Podemos aplicar la regla de Laplace.

Por tanto, la probabilidad para cada caso es:

Observamos que para la unión de todos los casos posibles, la probabilidad es la suma de los 4 valores mencionados. Es decir, 1.

Solución

La función de probabilidad de X, es:

Número de casos favorables partido por el número de casos totales.

Es decir,

Número de variaciones con X fichas rojas partido por el número de variaciones totales.

Es decir,

f(X)=\frac{\binom{4}{X}\binom{6}{3-X}( 3!)}{720}

Donde X toma los valores cero, uno, dos y tres.

Guay.

Más: Ejercicios resueltos de Probabilidad.