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EJERCICIO RESUELTO DE PROBABILIDAD | BOTELLAS DE VINO

Ejercicios resueltos para practicar probabilidad online

Enunciado

Un almacén recibió 1000 botellas de vino. La probabilidad de que se rompa una botella durante el transporte es de 0,003. Halle la probabilidad de que el almacén haya recibido rotas:

  1. Dos botellas
  2. Menos de dos
  3. Más de dos
  4. Por lo menos una

Vale.

Volvemos a leer

Lo mismo, pero de otra forma.

Hacemos mil experimentos de Bernoulli. Cada experimento de Bernoulli tiene una probabilidad de éxito de 0,003. Mira a las funciones de probabilidad y de distribución para contestar a las preguntas.

Solucionando el ejercicio

Pues va a ser que tenemos una repetición de experimentos de Bernoulli independientes. Ya habíamos nombrado esa distribución y calculado su probabilidad.

Ver artículo: Distribuciones de probabilidad más frecuentes.

Pero bueno, nosotros vamos a hacer como que no tenemos ni idea.

Pero conocemos nuestro objetivo:

Necesitamos la función de masa de probabilidad porque tenemos que mirarla, y sacar a partir de ella la función de distribución, para mirarla también.

Experimento aleatorio: “Mirar qué pasa con las botellas de vino – ¿se rompen o no?”.

Espacio muestral: “Todo lo que puede pasar”.

Pues eso.

Variable aleatoria N: “Número de éxitos en los mil experimentos”

O lo que es lo mismo: N: “Número de botellas rotas al finalizar el transporte de las mil botellas”.

Calculando la función de probabilidad

Partimos de la información que nos dan…

…para llegar a donde queremos llegar, paso a paso:

Se rompe ninguna.

Pues la probabilidad de que se rompan cero de mil botellas es la misma que la probabilidad de que mil botellas no se rompan.

Es decir,

Mil fracasos del experimento.

Es decir,

q^{1000}

1 de mil.

La probabilidad de que se rompa una botella es la de que se rompa una y no se rompan el resto.

Es decir,

1 éxito y 999 fracasos del experimento.

Pero… de mil formas distintas, porque no es lo mismo que se rompa la primera botella, a que se rompa la segunda, a que se rompa la número mil.

Nota: si te pierdes con esto, échale un ojo a este artículo de Variaciones y combinaciones.

Es decir,

\binom{1000}{1}\times p\times q^{999}

42 de mil.

La probabilidad de que se rompan 42 botellas es la de que se rompan 42 y no se rompan el resto.

Es decir,

42 éxitos y 1000-42 fracasos del experimento.

De las mil sobre 42 formas posibles.

Es decir,

\binom{1000}{42}\times p^{42}\times q^{1000-42}

n de mil.

La probabilidad de que se rompan n botellas es la de que se rompan n y no se rompan el resto.

Es decir,

n éxitos y 1000-n fracasos del experimento.

De mil sobre n formas posibles.

Es decir,

\binom{1000}{n}\times p^{n}\times q^{1000-n}

Perfecto.

Función de probabilidad

¿Cuál es la función que nos da la cantidad probabilidad para cualquier elemento de la variable aleatoria?

La función de masa de probabilidad.

¿Y cuál es?

Pues la que acabamos de calcular:

f(N)=\binom{1000}{N}\times p^{N}\times q^{1000-N}

Guay.

Con este invento en el bolsillo, ya podemos contestar a la primera pregunta.

¿Cuál es la probabilidad de que se rompan dos botellas?

f(N=2)=\binom{1000}{2}\times p^{2}\times q^{1000-2}=0.224

Poco más del 22%

Vale.

¿Y para las otras preguntas?

Pues esas preguntas hablan de probabilidades acumuladas.

¿Acumuladas?

Sí. Si te pregunto la probabilidad de que se rompan más de dos botellas, estoy buscando la acumulación de la probabilidad de que se rompan tres, cuatro, doscientas o incluso las mil.

Para saber eso necesito un elemento que mire la probabilidad acumulada hasta cada punto de la variable aleatoria. Ese elemento ya se ha inventado y se le ha puesto hasta nombre.

Buscamos la función de distribución acumulada.

Pues vamos a encontrarla.

O mejor dicho, vamos a construirla.

 

Más: Ejercicios resueltos de Probabilidad.