Ecuaciones Diferenciales

RESOLVER ECUACIÓN DIFERENCIAL CON CAMBIO DE VARIABLES

Este es un ejemplo que vamos a hacer muy muy rápidamente.

Porque es una tontería.

Pero hay que hacerlo.

Se nos pide resolver la siguiente ecuación diferencial:

\frac{dy}{dx}=\frac{1}{y+x}

Aplicando un cambio de variables que nos dice el enunciado o el profesor o cualquiera de esas cosas.

z=y+x

Pues lo haremos muy rápidamente.

Aplicar cambio de variables

Como nuestra ecuación original es:

y\prime =\frac{1}{y+x}

Vemos que hay tres ingredientes esenciales:

Vale.

¿Y qué pasa con eso?

Pues pasa que necesitamos saber qué forma tiene cada cosa, si queremos realizar el cambio de variables.

¿Por qué?

Porque un cambio de variables es un cambio de disfraz.

Es como cuando el carnicero se viste de pescadero porque se lo dice su jefe.

Si nos han dicho que la y es:

y=z-x

¿Quién será la y prima derivada?

Pues exacto, como no la sabemos, la calculamos.

Sabiendo muy bien que la z es función de x.

y\prime = z\prime -1

Con lo que nuestra ecuación diferencial cambio-de-variableada se transforma en:

z\prime -1=\frac{1}{z}

Que es claramente una ecuación diferencial de variables separables.

El ejercicio pues, se transforma en resolver esta ecuación diferencial ordinaria de orden uno.

Tenemos que:

\frac{dz}{dx}=(\frac{1}{z}+1)

Que es lo mismo que:

\frac{dz}{dx}=(\frac{1}{z}+\frac{1[z]}{[z]})=(\frac{1+z}{z})

Agrupando cada perra con su perro:

(\frac{z}{1+z})dz=1dx

E integrando ambos miembros de la igualdad:

\int (\frac{z}{1+z})dz=\int 1dx

Se nos muestra una integral que es tan fácil de calcular como fácil sea hacer el cociente de polinomios en cuestión:

\frac{z}{1+z}=1-\frac{1}{1+z}

Que hace que nuestra ecuación sea igual que:

\int (1-\frac{1}{1+z})dz=\int 1dx

Tenemos que:

z-ln\begin{vmatrix} 1+z \end{vmatrix}=x+C

Y si deshacemos el cambio de variables.

Que no es otra cosa que volver al disfraz original, diciendo que donde veo z en verdad hay una y+x, tenemos que:

y+x-ln\begin{vmatrix} 1+y-x \end{vmatrix}=x+C

Que es la expresión que cumplen todas las funciones y(x) que son solución de la ecuación diferencial original, para todos los valores de C pertenecientes al conjunto de números reales.

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