Ecuaciones Diferenciales

EJERCICIO RESUELTO | COMPROBAR LA SOLUCIÓN DE UNA EDO

Vamos a ver un ejemplo práctico de esos que sirven para entender las cosas.

Enunciado:

Comprobar que y = ln(x) es una solución de y’ + xy” = 0 en el intervalo I = (0, ∞).

Vale.

¿Qué pasa aquí?

Pues que tenemos que comprobar que una cosa es solución de una ecuación en un intervalo.

Pero antes de hacerlo, vamos a repasar la ensalada de conceptos.

PRIMERO: Tenemos que la cosa es una función y que es la solución a comprobar.

Las soluciones de una EDO son aquellas funciones que la cumplen.

Por eso la solución que nos dan es una función. De lujo.

SEGUNDO: La ecuación diferencial es de segundo orden.

Si no sabes lo que es eso de orden, repasa el artículo ¿Qué es una ecuación diferencial?.

Si estás viendo que es de segundo orden, porque la derivada más alta es la segunda, de lujo.

TERCERO: El intervalo. ¿Por qué?

Porque como la solución es una función, pues esa función estará definida en un cierto intervalo de valores.

Por ejemplo, los logaritmos neperianos de números negativos no pueden calcularse. Ni tampoco del cero.

Por eso el intervalo.

Para que nos quede clarito que estamos mirando solo los números positivos mayores que cero.

Pues a sustituir se ha dicho

Para mirar si esa solución es una solución de verdad, tenemos que sustituirla en la igualdad y ver si la igualdad de verdad se cumple.

Vale.

¿Qué necesitamos para poder sustituir?

Pues si miramos la EDO: y’ + xy” = 0

Nos damos cuenta de una cosa.

Nos hace falta la primera derivada y la segunda también.

Pues vamos a sacarlas.

La función original:

y = ln(x)

La derivada primera:

y\prime = \frac{1}{x} = x^{-1}

La derivada segunda:

y\prime \prime = -x^{-2} = \frac{-1}{x^2}

Curiosidad: ¿Qué representa la derivada segunda de una función?.

Vale.

Nos damos cuenta de que esas derivadas todas están definidas en el intervalo I que nos decían.

Ahora con esos ingredientes pues simplemente miramos la EDO y sutituimos cada caso por su cosa, para ver si la igualdad se verfica con esta hipotética solución que nos han dado.

Lo que haremos es sustituir solo el primer miembro, y operar.

Si la solución está bien, sustituir en el primer miembro nos dará el mismo valor que el segundo miembro.

\frac{1}{x}+x(\frac{-1}{x^2})=\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0

Vemos que nos da cero.

Así que de lujo.

Respuesta al ejercicio

Al sustituir la solución y sus respectivas derivadas en la EDO, observamos que se cumple la igualdad.

Por tanto, , la solución es correcta.

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