Ecuaciones Diferenciales

EJEMPLO DE ECUACIÓN DIFERENCIAL RESUELTA

Corriendo corriendo vamos a calcular una solución paso a paso de una ecuación diferencial ordinaria.

Mirar: ¿Qué es una ecuación diferencial ordinaria?

Bueno, pues tenemos esta:

[\frac{1}{y}+x]dx+[\frac{5}{y}-\frac{x}{y^{2}}+sen(y)]dy=0

Uuuuh! Pero wow!

¡Qué sorpresa tan sorprendente!

Tiene forma de ecuación diferencial exacta.

Sabemos que no es de variables separables porque si miras bien eso ni de coña se puede expresar con la función incógnita derivada despejada de forma que sea igual al valor de dos funciones una de y and otra de x que se estén multiplicando.

No.

Tampoco es lineal porque aparece la función incógnita elevada al cuadrado, y eso no puede pasar porque si te acuerdas de la forma de las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales, esas no tienen una incógnita al cuadrado en su santa vida.

Vale.

Tiene forma muy muy parecida a la que hemos visto en el artículo de ecuaciones diferenciales exactas. Pero que un tren tenga forma de plátano no quiere decir que sea un plátano.

Vamos a comprobar el asunto.

¿Cómo?

Pues mirando el secreto mágico ese que ya hemos aprendido aquí.

A ver a ver, que está interesantísima la cosa.

Identificación de las cajitas:

Por un lado:

X=\frac{1}{y}+x

Por otro lado:

Y=\frac{5}{y}-\frac{x}{y^{2}}+sen(y)

Ahora vamos a derivar el asunto.

Cada una con respecto de su otra, como hemos dicho en el artículo de ecuaciones diferenciales exactas.

La X con respecto de y:

X_{y}=\frac{-1}{y^{2}}

La Y con respecto de x:

Y_{x}=\frac{-1}{y^{2}}

Que viene siendo lo mismo que la anterior.

Las dos derivadas parciales que hemos hecho, coinciden.

Aunque en los puntos del plano que tienen a la y=0, no, porque no están definidas.

Pero en el resto del plano sí, así que todo está perfecto.

Es decir a saber pues: la ecuación diferencial que tenemos entre manos es exacta.

Conocemos un método para resolverlas.

Pues vamos al lío.

Resolver la ecuación exacta

Empezamos por saber que estamos buscando funciones que se están llamando y.

Esas funciones que estamos buscando cumplen que hay una F(x,y)=C.

Y precisamente para saber quién es la solución, tenemos que saber quién es esa F(x,y).

Sabemos también que esa F(x,y) cumple dos condiciones supremas.

Por un lado:

F_{x}(x,y)=\frac{1}{y}+x

Por otro lado:

F_{y}(x,y)=\frac{5}{y}-\frac{x}{y^{2}}+sen(y)

Muy bien.

Eso son dos condiciones que hablan de dos derivadas parciales.

Y habíamos dicho que para encontrar la F(x,y) que verifica esas dos condiciones, tenemos que imponer las condiciones de una en una.

De una en una quiere decir: primero una, luego otra.

En el orden que nos dé la mismísima o la diferentísima gana.

Da igual.

Yo voy a imponer la condición que habla de la derivada parcial con respecto de la variable equis de mixta.

Porque sí.

Impongamos pues:

F_{x}(x,y)=\frac{1}{y}+x

Entonces,

F(x,y)=\int F_{x}(x,y)dx=\int [\frac{1}{y}+x]dx=\frac{x}{y}+\frac{x^{2}}{2}+g(y)

Eso es una integral normal de toda la vida.

Si no te has enterado hasta ahora es por una de las opciones siguientes:

Si te has enterado, haz una pausa de un segundo y medio para hacer dos palmas y vamos a seguir.

Tenemos una cosa que está cumpliendo la primera condición.

Ahora a esa cosa vamos a darle otra vuelta de tuerca para ver si puede complir también la segunda condición.

Pero como ya hemos verificado perfectamente que la ecuación es exacta, pues claro que sí tiene solución.

Imponiendo la otra condición pues.

Esta habla de la derivada parcial con respecto de y.

Nos dice que:

F_{y}(x,y)=\frac{5}{y}-\frac{x}{y^{2}}+sen(y)

La F(x,y) que hemos obtenido de imponer la primera condición, habrá que derivarla con respecto de y para poder decir que las dos cosas son iguales.

F_{y}(x,y)=\frac{-x}{y^{2}}+g\prime (y)

Imponiendo, igualando:

La que buscamos tiene que ser igual que la que tenemos de la condición.

\frac{-x}{y^{2}}+g\prime (y)=\frac{5}{y}-\frac{x}{y^{2}}+sen(y)

Los pegotes con la y cuadrada en el denominador están en ambos lados, así que los quitamos.

g\prime (y)=\frac{5}{y}+sen(y)

Y ahora integramos para saber quién es la g(y) que necesitamos.

g(y)=\int [\frac{5}{y}+sen(y)]dy=5ln\begin{vmatrix} y \end{vmatrix} -cos(y) + K

Yo solo quiero una g(y), así que voy a poner K=0, porque es super easy.

Con eso y con un poquito de orden, tenemos que la F(x,y) que queríamos encontrar con esas dos condiciones, es esta:

F(x,y)=\frac{x}{y}+\frac{x^{2}}{2}+g(y)+5ln\begin{vmatrix} y \end{vmatrix} -cos(y)

Y decimos que la solución general de nuestra ecuación diferencial está englobada en todas las funciones y que verifiquen la expresión:

\frac{x}{y}+\frac{x^{2}}{2}+g(y)+5ln\begin{vmatrix} y \end{vmatrix} -cos(y)=C

Donde la C es una constante número real cualquiera.