Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN CON EJEMPLO RESUELTO

Entre los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, nos encontramos uno muy común.

Se trata de la ecuación diferencial ordinaria lineal.

De forma bocadillosa, podemos verla así:

función x incógnita derivada + función x incógnita = función

a(x)y\prime +b(x)y=f(x)

Bueno, ¿y qué pasa con esto?

Pues que estamos mirando qué forma tiene una ecuación diferencial de las que se llaman “lineales”.

Una vez que hemos mirado eso, pues ahora lo interesante sería aprender a resolverlas.

Cómo resolver una ecuación diferencial lineal

Pues vamos a resolver una ecuación por ejemplo así:

y\prime + ytg(x)=sen(2x)

Atención:

Mira bien que tiene la forma que hemos mencionado.

Incógnita derivada por función a(x)=1 más incógnita por función b(x)=tg(x) igualado todo a la función c(x)=sen(2x).

Seguimos el procedimiento siguiente:

Resolvemos la ecuación homogénea asociada.

¿Qué?

Pues que resolvemos la ecuación que es homogénea y que está asociada a la nuestra.

Sí, ¿pero qué es la ecuación homogénea asociada?.

Pues es la resultante de poner un cero en el término independiente.

El término independiente de una ecuación es el que no está multiplicando a la incógnita.

En nuestro caso, el término independiente es el seno de dos equis.

Lo quitamos.

Cero.

Entonces, la ecuación homogénea asociada en este caso es:

y\prime + ytg(x)=0

Y ahora resolvemos esa ecuación homogénea asociada.

Si miramos bien, nos damos cuenta rápidamente de que esa es de tipo: Variables Separables.

Y nosotros ya sabemos cómo resolver ecuaciones diferenciales de variables separables.

y\prime =-ytg(x)

Reagrupamos cada asunto con su tribu.

\frac{1}{y}dy=-tg(x)dx

Y hacemos super integral a ambos lados para ver quién es la y que buscamos.

\int \frac{1}{y}dy=\int -tg(x)dx

Nos queda que:

ln\begin{vmatrix} y\end{vmatrix}=ln\begin{vmatrix} cos(x)\end{vmatrix}+K

De lo que se observa que:

y=\pm e^{K}cos(x)

Cambiando el potaje ese de valores que tenemos con ±eK=C y sabiendo que la y=0 también es solución, podemos decir que la solución general de esta ecuación homogénea asociada sería:

y=C[cos(x)]

Para C∈ℜ.

Nota: Si no has comprendido qué hemos hecho en estas última líneas, deberías mirar el artículo sobre la resolución de ecuaciones diferenciales con variables separables, porque ahí se explica de lujo.

Bien.

De todas formas, eso no es lo que estamos buscando.

Nosotros estamos buscando la solución de la ecuación diferencial lineal.

Este era solo un paso intermedio que hemos decidido hacer.

¿Por qué?

Porque vamos a necesitarlo para el paso siguiente.

¿Y cuál es el paso siguiente?

Vamos a verlo.

Método de variación de la constante

Con este método matemágico, vamos a encontrar lo que buscamos.

Partiendo de la solución general de la ecuación homogénea asociada a la ecuación lineal que teníamos, lo que hacemos es variar la constante, como dice el título del método.

¿Cómo?

Pues que si antes era un número, ahora de repente y sin más miramientos, va a ser una función.

y=c(x)[cos(x)]

Busco una solución de mi ecuación original y’+ytg(x)=sen(2x)

¿Cómo?

Imponiendo que mi nuevo artilugio matemágico constantemente variante y=c(x)cos(x) sea una solución.

¿Y cómo impongo eso?

Pues imponiéndolo.

Sustituyéndolo en la ecuación.

Pero para sustituirlo antes necesito un ingrediente: la derivada.

y\prime=c\prime (x)cos(x)-c(x)sen(x)

Sustituyo:

c\prime (x)cos(x)-c(x)sen(x)+c(x)cos(x)tg(x)=sen(2x)

Simplificamos el asunto:

c\prime (x)cos(x)=sen(2x)

Ojito al dato, que estoy buscando c(x), así que vamos a intentar sacarla de ahí:

c\prime (x)=\frac{sen(2x)}{cos(x)}

Por propiedades trigonométricas, sabemos que sen(2x)=2sen(x)cos(x).

Sí, es una putada, pero un matemágico bueno, se las sabe todas.

Así que el asunto anterior, se queda en:

c\prime (x)=\frac{2sen(x)cos(x)}{cos(x)}=2sen(x)

Y para sacar una c(x) tenemos que deshacer la derivada integrando el asunto:

c(x)=\int 2sen(x) dx

Que viene siendo bastante facilito:

c(x)=-2cos(x)+Q

Yo solo quiero una c(x), no todas, por eso digo que Q=0 y me quedo con una y no más.

Entonces, ahora conocemos una solución particular de nuestra ecuación lineal.

Por fin.

y=c(x)[cos(x)]=-2cos(x)[cos(x)]=-2cos^{2}(x)

Bien.

Solución general de la ecuación diferencial lineal

Si yo quisiera no solo una solución particular sino una general, pues tendríamos que saber que:

La solución general de una ecuación diferencial ordinaria lineal es la suma de una solución particular y la solución general de su ecuación homogénea asociada.

Tenemos las dos.

Pues perfecto.

y=c[cos(x)]-2cos^{2}(x)

Y ahí queda eso.

Igual con todas.

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Avanzado: Varios capítulos más adelante se estudiarán las EDO lineales de orden superior.