Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS – DEFINICIÓN Y EJEMPLOS

Exacto, de exactitudes se trata esto.

Para saber qué es una ecuación diferencial exacta primero tenemos que saber qué es una ecuación diferencial.

Cuando ya se sabe eso, todo está de lujo.

Vamos a partir de una observación, para entender el asunto.

Observación

Yo tengo por ejemplo una cosa tal que así:

cos(x)+xy^{3}=C

Eso es una expresión matemática que define una familia – un paquete – de funciones y cuya variable es la x.

Vale.

¿Y qué pasa?

Pues que yo voy a derivar esa familia – ese paquete – de funciones de forma implícita (sin necesidad de despejar la y).

Nota: ojo al dato, porque la y es función de x, entonces ella también tiene x en su interior.

Derivando implícitamente queda pues:

-sen(x)+y^{3}+3xy^{2}y\prime =0

Sí, es verdad.

¿Pero para qué hacemos esto?

Para poder darnos cuenta de una cosita.

Y para darnos cuenta de esa cosita, vamos a agrupar los elementos en dos equipos: el que va multiplicando a la derivada y también el que no.

[-sen(x)+y^{3}]+[3xy^{2}\frac{dy}{dx}]=0

Ahora vamos a multiplicar toda la ecuación por un trozo infinitamente pequeño de la variable, esto es, dx (diferencial de equis).

Estoy haciendo la misma cosa a ambos lados, y por tanto no estamos alterando la veracidad de la ecuación.

Guay.

[-sen(x)+y^{3}]dx+[3xy^{2}\frac{dy}{dx}]dx=0dx

Simplificando nos quedamos con:

[-sen(x)+y^{3}]dx+[3xy^{2}]dy=0

Sí, eso es verdad.

Pero sigo sin enterarme de qué estamos haciendo.

Recapitulemos

Esto es lo que hemos hecho so far:

Esto es lo que tenemos so far:

Una igualdad que lleva tanto una función con su variable como la derivada de esa función.

¿Qué es eso?

Exacto, una ecuación diferencial.

¿Cuál es la solución general de esa ecuación diferencial?

Exacto, la familia de soluciones de la que hemos partido.

¿Por qué?

Porque si convierto una respuesta me llamo paco en una pregunta cómo te llamas paco, ¿cuál es la respuesta a la pregunta cómo te llamas paco?

Exacto.

¿Qué tenemos entre manos pues?

Exacto, una ecuación diferencial exacta.

¿Qué es una ecuación diferencial exacta pues?

Exacto, una ecuación diferencial de la forma:

F_{x}(x,y)dx+F_{y}(x,y)dy=0

…y cuyas soluciones son todas las funciones y de variable x que cumplen la expresión F(x,y)=C.

Ejemplo de ecuación diferencial exacta

Algo tal que así:

(2xy)dx+(x^{2})dy=0

Si miramos bien, nos damos cuenta rápidamente de que aquí estamos hablando de los siguientes elementos:

Nota: No hay que olvidarse que una derivada parcial es una derivada normal de toda la vida, pero cerrando un ojo y mirando solo una variable, aquella con respecto a la cual se deriva. Lo demás se trata como si fuera constante. Por eso la función y, aunque sea una variable que es función de x, se trata como constante. Ni siquiera nos hacemos la pregunta. Porque para hacerse esa pregunta está la derivación implícita, que ya la hicimos al inicio del artículo.

¿Y cuál es la F(x,y) de la que vienen esas dos derivadas parciales?

Pues está claro que F(x,y)=yx2

Bueno.

Entonces la solución general de esta ecuación diferencial exacta es toda la familia de funciones que cumple que F(x,y)=C, como habíamos visto.

Es decir, las soluciones son todas las y funciones de x que verifican la expresión x2y=C.

¿Cómo encontramos la solución?

Pues nosotros hemos visto la F(x,y) así muy rápido.

Pero en realidad eso lleva su procedimiento averiguarlo.

Procedimiento para resolver una ecuación diferencial exacta

Pues tenemos que volver a hacer una recapitulación, para no perdernos.

Vale.

Ejemplo de resolución de una EDO Exacta

Vamos a resolver la ecuación siguiente, sabiendo de antemano que es exacta:

3xy^{2}y\prime =sen(x)-y^{3}

Pues lo primero de todo es intentar representarla de la forma adecuada al caso.

Para eso hay que hacer [cajitas] que se suman: lo que tiene la derivada [en una cajita] y lo que no la tiene [en otra].

Y atención también, porque vamos a dejar todo en el mismo lado, haciendo que en un miembro de la ecuación haya un cero.

[3xy^{2}y\prime ]+[-sen(x)+y^{3}]=0

Ahora multiplicamos todo por un diferencial de la variable de la función.

[3xy^{2}\frac{dy}{dx}]dx+[-sen(x)+y^{3}]dx=[0]dx

Con eso, y operando el asunto:

[3xy^{2}]dy+[-sen(x)+y^{3}]dx=0

Para ser sistemáticos y no equivocarnos, vamos a organizar el asunto de forma que quede primero dx y luego dy.

Eso no es así por ninguna ley, sino por orden y claridad.

[-sen(x)+y^{3}]dx+[3xy^{2}]dy=0

Bien, de aquí, sabemos que estamos buscando una expresión de la forma F(x,y) tal que:

Esas son las dos condiciones que debe cumplir F(x,y).

Si encontramos una expresión F(x,y) que cumpla ambas condiciones, sabremos que la solución que buscamos está compuesta por todas las funciones y que verifiquen que F(x,y)=C.

Si no encontramos F(x,y) que cumpla ambas condiciones es porque la ecuación no tiene solución.

Pero bueno, vamos a buscarla a ver qué pasa.

¿Cómo buscamos una expresión matemática que cumpla dos condiciones al mismo tiempo?

El caso es que tiene que cumplir las dos.

Y lo que haremos es imponer las dos condiciones, de una en una.

Empezaremos por imponer una de ellas.

¿Cuál de las dos que tenemos?

La que queramos.

Por ejemplo, que su derivada parcial con respecto de y sea Fy(x,y)=3xy2.

De esa condición, podemos saber quién podría ser F(x,y).

Basta con integrar con respecto de dy.

F(x,y)=\int F_{y}(x,y)dy=\int 3xy^{2}dy

Esa integral es fácil de hacer, si se sabe hacer:

F(x,y)=\int 3xy^{2}dy=3x\frac{y^{3}}{3}+g(x)

¿Qué significa esa g(x) que hemos puesto ahí?

Siempre que integramos algo, hay varias funciones primitivas posibles.

Para englobarlas todas, incluimos un elemento variable en el resultado de la integral.

Para las integrales donde interviene una sola variable, ese elemento que añadimos al final es una constante.

Para las integrales donde intervienen más variables, si la integramos con respecto a una sola, habrá que añadir funciones de las variables que no estamos integrando, dado que estas son las que en la derivación parcial tratamos como constantes.

Entonces, sabiendo eso, la g(x) significa que estábamos integrando con respecto de y, por lo que hay varias posibles funciones primitivas que incluyen diferentes funciones de x, y que nosotros generalizamos como g(x).

El resultado de imponer esa condición, nos ha dicho la forma que tendrá la F(x,y) que buscamos:

F(x,y)=xy^{3}+g(x)

Y la presencia de esa g(x) nos dice que hay varias posibilidades.

¿Cuál de esas posibilidades queremos nosotros?

Recurrimos entonces a la imposición de la otra condición para encontrar cuál es la g(x) que buscamos.

¿Cuál es la otra condición?

Pues la que no hayamos usado todavía.

Hemos usado la condición que habla de la derivada parcial con respecto de y.

Pues ahora vamos a imponer lo que dice la derivada parcial con respecto de x.

Fx(x,y)=-sen(x)+y3

Vamos a derivar la forma esa que tiene que tener la F(x,y) con la que estamos trabajando, con respecto de x, para poder imponer esta otra condición.

Imponer esta condición significa decir que la derivada parcial de la nuestra, la que tenemos entre manos, tiene que ser igual que la que nos daba la ecuación original.

Es decir,

F_{x}(x,y)=1[y^{3}]+g\prime (x)=-sen(x)+y^{3}

Como estamos buscando una g(x), hay que operar:

g\prime (x)=-sen(x)

Y tenemos que:

g(x)=\int -sen(x)dx=cos(x)+K

Yo solo necesito una g(x), y no todas las posibles.

Así que voy a coger la más fácil, que es la que viene de decir que K=0.

g(x)=cos(x)

Y vemos que hemos podido imponer ambas condiciones con satisfacción y éxito.

Y eso nos ha permitido encontrar una F(x,y) que verifica las dos cosas que queríamos.

F(x,y)=xy^{3}+cos(x)

Entonces, ¿quién es la solución de nuestra ecuación diferencial exacta?

Pues todas las funciones y que verifican que F(x,y)=C.

Es decir, todas las funciones y que verifican la expresión:

xy^{3}+cos(x)=C

¡Qué casualidad!

¡Justo la misma expresión con la que habíamos empezado este artículo!

Bueno, perfecto.

Así sirve para justificar que no nos estamos inventando nada.

¿Y cómo sé si tiene solución?

Buscar soluciones resulta tedioso y es un proceso largo.

Cuando hemos estudiado los problemas de valores iniciales, teníamos una técnica suprema para saber si tenía solución antes de buscarla.

En este caso es igual.

Todas las ecuaciones diferenciales ordinarias exactas tienen una solución si la bsucamos con el procedimiento mencionado.

Pero claro, escribir una ecuación en forma diferencial – la de las cajitas – no quiere decir que sea exacta.

Por ejemplo:

[2xy^{2}-3y^{3}]dx+[7-3xy^{2}]dy=0

Está muy bonita escrita con cajitas y todo eso de lujo.

Pero puedes estar siete siglos buscando una F(x,y) tal que:

Y nunca vas a encontrarla.

Porque podremos imponer una condición, pero al intentar imponer la otra, descubrimos que es imposible.

El caso es que nosotros podemos ahorrarnos la cosa, y directamente saber si una ecuación es exacta o no.

Vale.

Y bueno, ¿cuál es la prueba esa secreta para ver si es exacta o no?

Pues tenemos que mirar las cajitas, y derivarlas parcialmente.

Si esas derivadas parciales coinciden – son iguales – entonces estamos tratando con una ecuación exacta.

Y si no, no.

Vale pero espera.

¿Derivadas parciales con respecto a qué?

Buena pregunta.

Pues es muy fácil.

Con respecto a la variable que acompaña a la cajita del equipo contrario.

¿Qué?

En nuestra forma de representar las ecuaciones exactas, hay siempre dos cajitas que se suman.

Y cada cajita multiplica a un diferencial.

Pues nosotros tenemos que derivar cada cajita con respecto a la variable del diferencial de la cajita contraria.

Y comprobaremos si se cumple que:

La derivada parcial de X con respecto de y es igual a la derivada parcial de Y con respecto de x.

Contraria con contraria.

Más misterio tiene un ministerio.

A ver, vamos a identificar los ingredientes:

Vamos a derivarlos con respecto a “sus contrarios”:

Miramos con mucha atención.

¿Son iguales las dos derivadas parciales que acabamos de hacer?

No.

Entonces la ecuación diferencial que estamos tratando no es exacta.

Puede tener solución, pero no es exacta.

¿Y si las derivadas parciales son iguales?

Entonces es condición necesaria y suficiente para que sea exacta.

Vamos a comprobarlo en la ecuación diferencial que hicimos antes y que sí era exacta.

[3xy^{2}]dy+[-sen(x)+y^{3}]dx=0

Identificamos los ingredientes:

Hacemos las derivadas parciales “cruzadas”:

¿Son iguales ambas derivadas parciales?

Sí.

Entonces la ecuación sí es exacta.

Ya lo sabíamos.

Pues ahora lo sabemos dos veces.

Y tenemos derecho a tres cervezas.

Capítulo siguiente

Índice: Aprender a hacer Ecuaciones Diferenciales.

Siguiente: Uso del factor integrante.

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