Ecuaciones Diferenciales

ECUACIONES DIFERENCIALES EJERCICIO RESUELTO – FACTOR INTEGRANTE

Tenemos la ecuación diferencial ordinaria siguiente:

[2xy^{2}-3y^{3}]dx+[7-3xy^{2}]dy=0

Y queremos resolver la ecuación mediante un factor integrante de la forma μ(y).

Ejercicio resuelto

Parece que la ecuación es exacta, pero no lo sabemos.

Vamos a comprobarlo.

Para comprobarlo, tenemos que analizar las “derivadas parciales cruzadas de las cajitas”.

Nota: para comprender en su contexto el cencepto de “las cajitas”, mira este artículo.

Bien. Tenemos que:

Cuyas derivadas parciales a analizar son:

Y que claramente no son iguales.

Lo que nos da permiso para afirmar que la ecuación no es exacta.

Factor integrante

El enunciado nos dice que resolvamos la ecuación mediante un factor integrante de la forma μ(y).

Como hemos aprendido en el artículo: ¿qué es un factor integrante?

Lo que hay que hacer para encontrarlo, es imponer el filtro.

\mu (y)[2xy^{2}-3y^{3}]dx+ \mu (y)[7-3xy^{2}]dy=0

El objetivo de un factor integrante es hacer que la ecuación sea exacta.

Ese es el filtro que imponemos para encontrar el factor integrante que buscamos.

¿Qué filtro?

Pues que solo nos sirven las funciones μ(y) que verifiquen que la ecuación es exacta.

O lo que es lo mismo,

Que solo nos sirven las funciones μ(y) que verifiquen que las super derivadas parciales mixtas son iguales.

Nuestras nuevas cajitas ahora son:

Cuyas derivadas parciales a analizar son:

Imponemos que ambas derivadas parciales son iguales, porque esas son las que hacen de filtro para encontrar el factor integrante que buscamos.

\mu \prime (y)(2xy^{2}-3y^{3})+\mu (y)(4xy-9y^{2})=\mu (y)(-3y^{2})

Sacamos factor común el μ(y):

\mu \prime (y)(2xy^{2}-3y^{3})=\mu (y)[6y^{2}-4xy]

Agrupamos bien los miembros:

\frac{\mu \prime (y)}{\mu (y)}=\frac{(6y^{2}-4xy)}{(2xy^{2}-3y^{3})}

Simplificamos el asunto:

\frac{\mu \prime (y)}{\mu (y)}=\frac{(3y)(3y-2x)}{(y^{2})(2x-3y)}=\frac{(3y)(3y-2x)}{(y^{2})(-1)(-2x+3y)}=\frac{-2}{y}

Tiene buena pinta, pero tenemos que integrar para sacar al μ(y) despejado:

\int \frac{\mu \prime (y)}{\mu (y)}dy=\int \frac{-2}{y}dy

Teniendo que:

ln\begin{vmatrix} \mu (y)\end{vmatrix}=-2ln\begin{vmatrix} y\end{vmatrix}+K

Tomamos K=0 porque solo queremos un factor integrante, no infinitos.

ln\begin{vmatrix} \mu (y)\end{vmatrix}=ln\begin{vmatrix} y\end{vmatrix}^{2}=ln\begin{vmatrix} \frac{1}{y^{2}} \end{vmatrix}

Es decir,

\mu (y)=\frac{1}{y^{2}}

Y ahora que tenemos nuestro factor integrante, vamos a usarlo para resolver la ecuación.

Resolver la ecuación aplicando el factor integrante

Nuestro ecuación diferencial, con el factor integrante aplicado, tiene esta forma:

\frac{1}{y^{2}}[2xy^{2}-3y^{3}]dx+ \frac{1}{y^{2}}[7-3xy^{2}]dy=0

Parece una locura de ensalada matemágica, pero simplificando quesos con quesos se ve mejor:

[2x-3y]dx+ [\frac{7}{y^{2}}-3x]dy=0

Mirando las derivadas parciales mixtas mágicas, ahora sí tienen que ser iguales.

Cuyas derivadas parciales a analizar son:

Y si no fuesen iguales es porque nos hemos equivocado al calcular el factor integrante.

Pues la tarea de este es exactamente esa, la de exactificar una ecuación diferencial.

Si no lo hace, ¿para qué íbamos a quererlo?

Bueno. El caso.

Que ahora toca resolver la ecuación diferencial exacta.

¿Cómo?

Pues como ya sabemos.

Recordatorio: Resolver una ecuación diferencial exacta

Basta con mirar las cajitas:

Y conocer las condiciones que el elemento clave de la solución debe cumplir.

Partimos por ejemplo de la primera condición:

F(x,y)=\int (2x-3y) dx = \int 2x dx - \int 3y dx = x^{2}-3yx + g(y)

El g(y) que hemos añadido al final es para englobar todas las posibles primitivas de la integral. Si no lo entiendes, revisa el artículo donde se explica el factor integrante, y lo entenderás perfecto.

Ahora vamos a darnos cuenta de que tenemos una expresión que tiene una parte todavía amorfa.

Ese g(y) tan super mega genérico, nos va a ayudar a meter ahí lo que queramos, siempre que sea un función de y, of course.

Pues nosotros vamos a obligar que se meta ahí algo que verifique la segunda condición que nos queda.

F_{y}(x,y)=-3x+g\prime (y)=\frac{7}{y^{2}}-3x

A ambos miembros de la igualdad hay un triple x por no mega gráfico, que se va a la basura.

g\prime (y)=\frac{7}{y^{2}}

Integramos esa fracción tan chachi piruli, y tenemos que:

g(y)=\int \frac{7}{y^{2}} dy=7\int y^{-2}=7\frac{y^{-1}}{-1}=-\frac{7}{y}

Y uniendo los ingredientes, tenemos la F(x,y) que buscábamos:

F(x,y)=x^{2}-3xy-\frac{7}{y}

Ahora sabemos que todas las soluciones de nuestra ecuación son aquellas funciones y de x que verifican que:

x^{2}-3xy-\frac{7}{y}=C

Donde la señorita C es una constante en ℜ.