Ecuaciones Diferenciales

RESOLVER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL CON UN FACTOR INTEGRANTE

Estamos haciendo un super curso de ecuaciones diferenciales ordinarias.

Y después de haber estudiado un poquito algunos tipos básicos:

Estamos mirando cosas y nos encontramos con este asunto que voy a describir a continuación:

Tenemos una ecuación diferencial que parece que es exacta.

[1]dy+[\frac{1}{x}y-cos(x)]dx=0

Así que miramos el asunto de las derivadas parciales de cada cajita con respecto de su otra.

Nota: si no sabes lo que es una cajita respecto de su otra tienes que mirar esto: ecuaciones diferenciales exactas.

Y bueno, que hacemos nuestras super derivadas parciales.

Y nos damos cuenta de que no coinciden.

No es exacta.

¿Y qué hacemos ahora?

Pues, o bien te das cuenta de que es lineal.

O bien usas un factor integrante.

¿Qué es un factor integrante?

Pues.

Es una función que tiene superpoderes matemágicos para convertir una EDO casi exacta en exacta.

¿Qué quiere decir eso?

Pues quiere decir que un factor integrante es una función μ(x,y) que hace que nuestra ecuación:

[X(x,y)]dx+[Y(x,y)]dy=0

Que no es exacta, porque las derivadas parciales esas que sabemos no coinciden…

Se convierta en exacta al multiplicar cada cajita por esa función factor integrante.

Es decir, μ(x,y) es la función que hace que la ecuación:

\mu (x,y)[X(x,y)]dx+\mu (x,y)[Y(x,y)]dy=0

Sí sea exacta.

Básicamente es un exactificador de ecuaciones.

Se mete a multiplicar las dos cajitas y hace que lo que antes no era exacto ahora sí lo sea.

Dato:

Eso no es ningún mundo.

Solo quiere decir que a veces la función es de una variable, a veces es de otra y a veces es de las dos.

Vale.

Por ejemplo, retomando la ecuación que nos hemos dejado sin resolver:

[1]dy+[\frac{1}{x}y-cos(x)]dx=0

Buscamos un factor integrante.

Puede haber factores integrantes de cualquiera de las formas mencionadas.

Yo voy a mirar si tiene un factor integrante de la forma μ(x).

Porque sé que lo tiene, y así vas a saber cómo se hace la comprobación.

Porque no estamos aquí para perder el tiempo cojoônes.

¿Cómo compruebo si existe un factor integrante μ(x) para esta ecuación?

Pues como siempre.

Se busca.

Vale.

Buscamos pues.

Igual que para aplicar una condición imponemos una verdad requerida, para realizar una búsqueda imponemos un filtro.

Es la misma cosa, pero con contextos distintos.

Imponemos un filtro pues.

¿Qué filtro?

Pues que haya una función μ(x) que haga que esa ecuación sea exacta al multiplicar ese filtro por ambas cajitas.

[\mu (x)][1]dy+[\mu (x)][\frac{1}{x}y-cos(x)]dx=0

Y para que eso pase, ya sabemos que las derivadas parciales “cruzadas” tienen que ser iguales.

Nota feroz: derivadas cruzadas es un abuso of the lenguaje, para ahorrarnos ensaladillas técnicas.

Ahí tenemos una condición que vamos a imponer.

Primero hacemos una recolección de ingredientes:

Por un lado:

Y=[\mu (x)][1]

Y por otro lado:

X=[\mu (x)][\frac{1}{x}y-cos(x)]

Y ahora miramos qué pintas tienen que tener las derivadas parciales:

Por un lado:

Y_{x}=[\mu \prime (x)]

Y por otro lado:

X_{y}=[\mu (x)][\frac{1}{x}]

Imponemos la condición son iguales para que la ecuación sea exacta.

X_{y}=Y_{x}=[\mu \prime (x)]=[\mu (x)][\frac{1}{x}]

Eso nos da una ecuación que tiene una incógnita que podemos buscar.

La incógnita es exactamente la función factor integrante μ(x) que estamos buscando.

Y la encontraremos si buscamos bien:

Posicionado el asunto:

\frac{\mu \prime (x)}{\mu (x)}=\frac{1}{x}

Para integrar a ambos lados:

\int \frac{\mu \prime (x)}{\mu (x)}dx=\int \frac{1}{x}dx

Y mirar bien:

\begin{vmatrix} \mu (x) \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} x \end{vmatrix}

Para encontrar el tesoro:

\mu (x)=x

El caso.

Que hemos impuesto un filtro y después una condición para encontrar un factor integrante que sea capaz de convertir nuestra ecuación en exacta.

Ahora vamos a resolverla aplicando ese factor integrante.

Aplicar en este caso tiene el sentido de utilizar.

Pues nuestra super ecuación exacta es la resultante de multiplicar nuestra ecuación anterior por el factor integrante.

Como multiplicar una ecuación por ese factor integrante no altera las soluciones, pues las soluciones de la ecuación exacta serán las mismas que la de aquella de la que hemos partido.

Vale.

\mu (x)[1]dy+\mu (x)[\frac{1}{x}y-cos(x)]dx=\mu (x)[0]

Se convierte en:

[x]dy+[y-xcos(x)]dx=0

De donde obtenemos que:

Y de lo que obtenemos dos condiciones:

Y partiendo de la segunda condición, por ejemplo, tenemos que:

Para empezar, nuestra F(x,y) tiene que tener la forma:

F(x,y)=\int [x]dy=xy+g(x)

Y para seguir buscando, basta con imponer la otra condición.

Nos dice que la derivada parcial de todo eso con respecto de x debe ser igual a y-xcos(x).

y+g\prime (x)=y-xcos(x)

Despejando la g(x) que buscamos:

g(x)=\int -xcos(x)dx

Eso es un producto de un polinomio por un coseno.

Resolvemos la integral por partes.

Nota: la integración por partes es un método de integración común como la sal común.

Desmenuzamos las partes:

Y sabiendo que:

\int udv=uv-\int vdu

Volvemos a juntarlas:

g(x)=-xsen(x)-\int -sen(x)=-xsen(x)-cos(x)

Luego poniendo g(x) en su sitio, tenemos que:

F(x,y)=xy-xsen(x)-cos(x)

Por lo que todas las soluciones de nuestra ecuación diferencial son aquellas funciones y que verifican que:

F(x,y)=xy-xsen(x)-cos(x)=C

Perfecto.

Nota: mira este otro ejercicio resuelto con factor integrante.

Capítulo siguiente

Índice: Aprender a resolver Ecuaciones Diferenciales.

Siguiente: Ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas.

Si tienes algo que decir, usa el sistema de comentarios que aparece más abajo.