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DISTRIBUCIÓN DE POISSON | EJEMPLOS DE EJERCICIOS RESUELTOS

Contexto: Probabilidad | Variable: Discreta | Distribución: Poisson

Problema Resuelto

Harry Potter está capturando ranas. El número medio de ranas que captura es de 4 ranas cada hora.

¿Cuál es la probabilidad de que en media hora capture menos de 3 ranas?

Definamos nuestro Experimento Aleatorio.

Experimento Aleatorio: “Buscar ranas durante un determinado tiempo”.

Sea el Evento: “Encontrar una rana en un cierto momento de ese tiempo”.

Tenemos un proceso de Poisson.

Por lo que la variable aleatoria discreta X: “Número de ranas encontradas en la realización del experimento durante ese determinado tiempo” sigue una distribución de Poisson.

Se dice que el número medio de ranas capturadas es de 4 ranas por hora.

Pero el experimento no se realiza durante una hora, sino durante 30 minutos.

El número medio de ranas encontradas en media hora entonces es la mitad de cuatro: 2.

Recordamos la función de probabilidad de una variable que sigue una distribución de Poisson.

[menos lambda veces el producto de e por sí mismo] por [x veces el producto de lambda por sí mismo], todo [partido por el factorial de x]
f(P=x)=\frac{e^{-\lambda}{\lambda^x}}{x!}

Donde:

Entonces, para la pregunta planteada.

¿Probabilidad de encontrar menos de tres ranas en esa media hora?

Sumaremos las probabilidades de estos tres casos para saber la probabilidad que nos preguntan.

P(X<3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

Es decir:

P(X<3)=\frac{e^{-2}2^{0}}{0!}+\frac{e^{-2}2^{1}}{1!}+\frac{e^{-2}2^{2}}{2!}

Calculadora:

P(X<3)=0.1353+0.2707+0.2707

De donde obtenemos una probabilidad del 67%.

Ejemplo resuelto del complementario

Si la pregunta fuese:

Calcular la probabilidad de que encuentre como mínimo tres ranas en media hora.

Habría que considerar el caso de que encuentre tres ranas, o cuatro, o cinco… o sesenta… o un millón.

Se pueden sumar probabilidades hasta que estas empiecen a ser demasiado bajas como para considerarlas nulas y parar.

Pero también podemos calcular la probabilidad del caso complementario, que es más fácil.

Probabilidad de encontrar al menos tres ranas es:

Y esa P(X<3) ya la hemos calculado justo hace un momento.

Como la que estamos buscando ahora es el complementario, pues:

Encontrar al menos tres ranas = P(X≥3) = 1 – P(X<3) = 100%-67% = 33%.

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