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DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA | EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD

Contexto: Probabilidad | Variable: Discreta | Distribución: Geométrica

Problema Resuelto

Harry Potter está saltando de un escalón a otro. La probabilidad de que se caiga al saltar es del 25%.

¿Cuál es la probabilidad de que la primera vez que se cae sea después de haber saltado 5 veces?

Definamos nuestro Experimento Aleatorio.

Experimento Aleatorio: “Saltar de un escalón a otro”.

Observación: Nuestro experimento es un ensayo de Bernoulli.

Se nos pregunta la probabilidad de que la primera vez que se cae sea después de haber saltado 5 veces.

Eso implica que el experimento se repita varias veces.

Y sabemos que un salto es independiente del anterior.

¿Qué tenemos?

Sea X una variable aleatoria discreta que mide: “Número de saltos hasta el primer éxito / caída”.

La situación tiene forma de distribución geométrica.

¿Cómo calculamos la probabilidad de que la variable aleatoria X de distribución geométrica tome un cierto valor?

Pues para que X sea igual a n, el experimento aleatorio se tiene que realizar n veces.

Para que la n-ésima vez sea la que sucede el primer éxito, todas las anteriores han sido fracasos.

Si X = n es porque Harry ha saltado n-1 veces y no se ha caído y luego ha saltado otra vez y sí se ha caído.

Entonces, ¿cómo contestamos a la pregunta?

Para empezar, comprendiendo la pregunta.

Pregunta: Probabilidad de caerse después del quinto salto.

Posibles confusiones:

Podríamos ir sumando las probabilidades de que X valga 6, o 7, o 8, o 9, o 10,… hasta que estos valores tiendan a probabilidad nula y despreciar el resto.

Pero hay una forma más elegante de hacerlo.

Dándole la vuelta a la pregunta:

Probabilidad de que se caiga exactamente en el quinto salto o antes.

Cuando tengamos esa probabilidad, tomaremos la probabilidad del complementario (la diferencia hasta 1), que contesta a la pregunta original.

Entonces, calculamos P(X≤5).

Recordemos que la expresión de P(X=n) para una geométrica es muy fácil.

n-1 fracasos seguidos y 1 éxito

Según la regla de la multiplicación de probabilidades, sería:

P(X=n) = P(Fracaso)n-1 · P(Éxito)1

Entonces, calcularemos la probabilidad P(X≤5) como:

P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)

La probabilidad del Éxito (Harry Potter se cae) es del 25%

La probabilidad del Fracaso (no se cae) es del complementario, 75%.

P(X≤5) = (0.75)0(0.25) + (0.75)1(0.25) + (0.75)2(0.25) + (0.75)3(0.25) + (0.75)4(0.25) = 0.762695

Es decir, la probabilidad de que Harry Potter se caiga en uno de los cinco primeros saltos es de aproximadamente el 76%.

Pues la probabilidad que buscamos, que no se caiga en ninguno de los primeros saltos, es la diferencia hasta uno.

P(X>5) = 1 - P(X≤5) = 1 - 0.762695 = 0.2373

Es decir, hay un 23% de probabilidad de que Harry Potter salte un montón de veces hasta caerse y que esta caída se produzca en cualquier momento después de los cinco primeros saltos.

Ejemplo resuelto sobre la Esperanza

Continuaremos con el mismo experimento, y cambiaremos la pregunta.

¿En qué salto se espera que se produzca la primera caída?

El primer paso es comprender la pregunta.

De forma intuitiva, podemos ver que si la probabilidad de que el chaval se nos caiga es del 25%, pues en cuatro saltos (25 x 4 = 100%) en teoría seguro que ya se ha caído.

De todas formas, la esperanza en una distribución geométrica es el inverso de la probabilidad de éxito.

Créetelo solo cuando lo hayas comprobado: Calcular Esperanza.

E(X)=\frac{1}{0.25}=4

Cuatro, la esperanza de la variable es que el primer éxito se dé en la cuarta repetición del experimento.