Distribución Geométrica | Ejercicios Resueltos de Probabilidad

Distribución Geométrica | Ejercicios Resueltos de Probabilidad

Contexto: Probabilidad | Variable: Discreta | Distribución: Geométrica

Problema Resuelto

Harry Potter está saltando de un escalón a otro. La probabilidad de que se caiga al saltar es del 25%.

¿Cuál es la probabilidad de que la primera vez que se cae sea después de haber saltado 5 veces?

Definamos nuestro Experimento Aleatorio.

Experimento Aleatorio: “Saltar de un escalón a otro”.

  • Sea el suceso Éxito: “Harry Potter se cae al saltar”.
  • Sea el suceso Fracaso: “Harry Potter no se cae al saltar”.
Observación: Nuestro experimento es un ensayo de Bernoulli.

Se nos pregunta la probabilidad de que la primera vez que se cae sea después de haber saltado 5 veces.

Eso implica que el experimento se repita varias veces.

Y sabemos que un salto es independiente del anterior.

¿Qué tenemos?

  • Un experimento de Bernoulli repetido de forma independiente.
  • Buscar el número de veces que hay que repetir el experimento hasta obtener el primer Éxito.

Sea X una variable aleatoria discreta que mide: “Número de saltos hasta el primer éxito / caída”.

La situación tiene forma de distribución geométrica.

¿Cómo calculamos la probabilidad de que la variable aleatoria X de distribución geométrica tome un cierto valor?

Pues para que X sea igual a n, el experimento aleatorio se tiene que realizar n veces.

Para que la n-ésima vez sea la que sucede el primer éxito, todas las anteriores han sido fracasos.

Si X = n es porque Harry ha saltado n-1 veces y no se ha caído y luego ha saltado otra vez y sí se ha caído.

Entonces, ¿cómo contestamos a la pregunta?

Para empezar, comprendiendo la pregunta.

Pregunta: Probabilidad de caerse después del quinto salto.

Posibles confusiones:

  • No nos están preguntando la probabilidad de caerse en el quinto salto.
  • No nos están preguntando la probabilidad de caerse en el sexto salto.
  • Sí nos están preguntando la probabilidad de caerse por primera vez en cualquier salto que vaya después del quinto. Podría ser el sexto, pero también el octavo, o el salto número mil trescientos.

Podríamos ir sumando las probabilidades de que X valga 6, o 7, o 8, o 9, o 10,… hasta que estos valores tiendan a probabilidad nula y despreciar el resto.

Pero hay una forma más elegante de hacerlo.

Dándole la vuelta a la pregunta:

Probabilidad de que se caiga exactamente en el quinto salto o antes.

Cuando tengamos esa probabilidad, tomaremos la probabilidad del complementario (la diferencia hasta 1), que contesta a la pregunta original.

Entonces, calculamos P(X≤5).

Recordemos que la expresión de P(X=n) para una geométrica es muy fácil.

n-1 fracasos seguidos y 1 éxito

Según la regla de la multiplicación de probabilidades, sería:

P(X=n) = P(Fracaso)n-1 · P(Éxito)1

Entonces, calcularemos la probabilidad P(X≤5) como:

P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)

La probabilidad del Éxito (Harry Potter se cae) es del 25%

La probabilidad del Fracaso (no se cae) es del complementario, 75%.

P(X≤5) = (0.75)0(0.25) + (0.75)1(0.25) + (0.75)2(0.25) + (0.75)3(0.25) + (0.75)4(0.25) = 0.762695

Es decir, la probabilidad de que Harry Potter se caiga en uno de los cinco primeros saltos es de aproximadamente el 76%.

Pues la probabilidad que buscamos, que no se caiga en ninguno de los primeros saltos, es la diferencia hasta uno.

P(X>5) = 1 - P(X≤5) = 1 - 0.762695 = 0.2373

Es decir, hay un 23% de probabilidad de que Harry Potter salte un montón de veces hasta caerse y que esta caída se produzca en cualquier momento después de los cinco primeros saltos.

Ejemplo resuelto sobre la Esperanza

Continuaremos con el mismo experimento, y cambiaremos la pregunta.

¿En qué salto se espera que se produzca la primera caída?

El primer paso es comprender la pregunta.

  • En qué salto: en qué repetición independiente del experimento.
  • Se espera: esperanza de la variable aleatoria.
  • La primera caída: el primer éxito, distribución geométrica.

De forma intuitiva, podemos ver que si la probabilidad de que el chaval se nos caiga es del 25%, pues en cuatro saltos (25 x 4 = 100%) en teoría seguro que ya se ha caído.

De todas formas, la esperanza en una distribución geométrica es el inverso de la probabilidad de éxito.

Créetelo solo cuando lo hayas comprobado: Calcular Esperanza.

E(X)=\frac{1}{0.25}=4

Cuatro, la esperanza de la variable es que el primer éxito se dé en la cuarta repetición del experimento.