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DESCOMPOSICIÓN EN FRACCIONES SIMPLES | EXPLICACIÓN Y EJEMPLOS RESUELTOS

La descomposición en fracciones simples es una técnica matemática que se usa para coger un cociente de polinomios y partirlo en un puñado de fracciones sencillitas, a las que llamamos fracciones simples.

Se utiliza cuando el grado del numerador es menor que el del denominador.

Cómo descomponer en fracciones simples

Para aplicar esta técnica hay que mirar las raíces del polinomio del denominador.

¿Qué es la raíz del polinomio?

Las raíces de un polinomio son los numeritos que hacen que el polinomio valga cero. Por eso a veces se llaman también los ceros del polinomio.

Descomposición para raíces reales simples:

Si el polinomio denominador tiene por raíces n números reales simples (siendo n el grado del polinomio), por ejemplo, s0, s1, s2, … sn, la descomposición en fracciones simples se hará de la siguiente manera:

Teniendo una fracción simple para cada una de las raíces del polinomio.

Ejemplo resuelto:

Tenemos los polinomios P y Q.

Para descomponer el cociente de P y Q, viendo que el grado de Q es mayor que el grado de P, y teniendo tres raíces simples reales para el denominador, haríamos:

Ahora sumamos las fracciones simples.

Para sumar fracciones deben tener el mismo denominador.

Multiplicando los tres denominadores, tenemos un denominador común, que dividido por cada denominador y multiplicado por cada numerador, respectivamente, nos da:

Tenemos dos fracciones que son iguales, pero experadas de forma distinta.

Vemos que el denominador de la segunda es una factorización del denominador de la primera.

Sabemos que ambos numeradores son iguales, lo cuál nos permitirá averiguar cuánto valen en este caso A, B y C.

Si desarrollamos los productos e igualamos los términos que van con (s2), (s1=s) y (s0=1), tenemos un sistema de ecuaciones lineales:

Las soluciones de este sistema de ecuaciones lineales son:

Con lo que ya tenemos nuestra descomposición en fracciones simples lista.

Bien.

Descomposición para raíces reales múltiples:

En este caso tenemos raíces que se repiten, por lo que la descomposición cambia un poco:

Vamos a ver un ejemplo.

Ejercicio resuelto:

Sean los polinomios:

Tenemos en este caso dos raíces dobles. Pues, lo que hacemos es repetir las fracciones elevando el denominador hasta el grado de multiplicidad de cada raíz.

Tomamos como denominador común el mínimo común múltiplo (para garantizar que ambas fracciones son iguales).

Con lo que nos quedaría:

Ahora igualamos el denominador y buscamos los valores de A, B, C y D.