Ecuaciones Diferenciales

TEOREMA DE PICARD | ¿TIENE SOLUCIÓN MI PVI?

Cuando uno tiene que resolver un Problema de Valores Iniciales, lo primero que hace es desmotivarse.

¿Tendrá solución?

¿Qué pasa si ahora estoy aquí media hora haciendo cuentas y luego no tiene solución?

Bueno.

Pues para arreglar esos asuntos, viene el tito Picard con sus teorías.

Vamos a empezar por suponer un PVI.

Si no sabes lo que es un PVI, lee: ¿Qué es un problema de valores iniciales?

\begin{cases} y\prime=f(x, y) \\ y(x_0)=y_0 \end{cases}

Eso es.

Guay.

Pues el Teorema de Picard te dice:

Mira por favor tanto la f(x, y) como su derivada parcial fy(x, y).

Y tú lo que haces es que vas y calculas ambas cosas, para poder mirar.

Si no no puedes mirar.

Cuando las tienes y las estás mirando, el Teorema de Picard te pregunta:

Ambas cosas, ¿son continuas en un rectángulo con los lados paralelos a los ejes de coordenadas tal que el punto de la condición se queda dentro del rectángulo?

El rectángulo que hablamos es algo así: R={(x, y) ∈ ℜ2: a≤x≤b, c≤y≤d}

Que se lee como:

Todos los puntos del plano cuya coordenada x oscila de a hasta b y cuya coordenada y oscila desde la c hasta la d.

Aquí te lo dibujo:

Teorema picard

Espera, que me he perdido.

Normal.

El caso, que el teorema te dice que mires la función esa y también su derivada parcial con respecto de y.

Te dice también que te imagines o dibujes un rectángulo en un plano, de forma que el punto de la condición se quede dentro del rectángulo, y que al mismo tiempo esas dos cosas que has mirado sean continuas dentro del rectángulo.

¿Y qué rectángulo pinto?

Pues cualquiera.

El que más te guste.

Vale.

¿Y qué pasa si se cumplen estos requisitos?

Pues el Teorema de Picard te diría:

Vale. Se cumplen los requisitos. Pues entonces te garantizo que hay una solución única para tu problema de valores iniciales.

Ojo a los datos: Garantizo, Solución única.

¿Y qué pasa si no se cumplen los requisitos planteados?

Pues que el Teorema de Picard no se aplica.

Y que no se aplique no quiere decir que no haya solución.

En ese caso Picard se calla la boca porque no tiene apoyo científico para decirte nada, pero tú puedes buscar por tu cuenta y podría ser que encuentres una solución.

Ejemplo de aplicación del Teorema de Picard

Vamos a mirar un PVI de verdad.

\begin{cases} (x-1)y\prime=4y^{2} \\ y(0)=1 \end{cases}

¿Qué sabemos?

Sabemos que la ecuación es de orden uno y que tiene una condición.

Así que de lujo.

No sabemos si tiene solución.

Pues aplicamos el Teorema de Picard para saberlo.

El teorema de Picard nos dice que miremos la ecuación con la derivada de y despejada.

f(x, y)=\frac{4y^2}{x-1}

Vale, cuando tenemos eso nos dice que lo derivemos parcialmente con respecto de y, que viene siendo derivar mirando solo la y, pero tratando a todo lo demás como si fuera constante.

f_{y}(x, y)=\frac{8y}{x-1}

Entonces, mirando ambas cosas, nos dice que pintemos un rectángulo conteniendo al punto de la condición (0, 1) de forma que esas dos cositas sean continuas dentro de ese rectángulo.

Pues para hacerlo de forma inteligente, nosotros vamos a dibujar un eje de coordendas donde estará el punto y la referencia de dónde las funciones no son continuas.

Tanto f(x, y) como su derivada parcial fy(x, y) son continuas en todo ℜ menos en los valores de x para los que se anula el denominador.

Es decir, ambas son continuas en todo el plano menos en la recta x=1 representada en este dibujito:

Teorema Picard

Pues con esta ensaladilla rusa, podemos ahora intentar pintar un rectangulete.

¿Cuál?

Hemos dicho el que queramos, así que yo voy a pintar este:

Teorema Picard

¿Y por qué ese y no otro?

Pues porque ese es el primero que yo he visto que cumple la condición, pero puedes poner cualquier otro.

Mira:

Teorema Picard

Siempre y cuando cumpla las condiciones que hemos dicho, va guay.

El caso, que como los ingredientes de este PVI cumplen los requisitos del teorema, el tito Picard nos garantiza que tiene solución.

¿Algún ejemplo donde no se cumplan?

Claro.

\begin{cases} y\prime=y^{\frac{2}{3}} \\ y(1)=0 \end{cases}

Miramos los ingredientes Picardísticos, igual que antes.

Por un lado la f(x, y):

f(x,y)=y^{\frac{2}{3}}

Por otro lado la derivada parcial con respecto de y:

f_{y}(x,y)=\frac{2}{3\sqrt[3]{y}}

Ambas son continuas en todo ℜ menos en la recta y=0.

Pues igual que antes, dibujamos el eje de coordenadas con el punto y los sitios donde hay que poner atención.

Teorema picard

Y mirando el asunto, pues vemos que no hay ningún rectángulo que contenga al punto y en el que al mismo tiempo ambas funciones sean continuas.

Básicamente porque nuestro punto está exactamente encima de la recta donde la derivada parcial no está definida.

picard

Ah.

Pues ya está.

No se cumplen las hipótesis del Teorema de Picard.

Pues no podemos saber si hay una solución no.

Si quieres puedes buscarla pero el teorema no va a decirte nada al respecto.

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