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¿QUÉ ES LA ESPERANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA Y CÓMO SE CALCULA?

Contexto: Estadística y Probabilidad.

Recordamos que una Variable Aleatoria es una función que toma resultados de un experimento aleatorio (elementos del espacio muestral Ω) y devuelve un valor real.

Ahora vamos a definir el concepto de Esperanza asociada a esta variable.

Definición | Esperanza de una Variable Aleatoria

Sea una variable aleatoria X.

Se define la esperanza E(X) como el valor medio de esa variable aleatoria.

¿Qué quiere decir eso?

La variable aleatoria X va a tomar los valores que ella quiera.

Un día tomará este, otro ese y otro aquel.

Imagina que repetimos el experimento al que está asociada la variable miles de millones de veces y apuntamos los valores devueltos en un papel.

Hacemos la media de todos esos valores.

Y nos daría un número.

Bien, pues ese número es lo que pretende darnos la esperanza de la variable, pero sin necesidad de repetir el experimento un millón de veces.

Qué bien, ¿pero cómo sé cuál es la E(X)?

Cómo calcular la esperanza de una variable aleatoria

La esperanza es la suma de todos los valores que toma la variable aleatoria multiplicada por la probabilidad con que los toma.

Igual que la media aritmética, que contempla los valores que hemos recogido, multiplicados por la frecuencia relativa con que se han repetido.

La esperanza es lo mismo, pero son datos que todavía no existen, y en lugar de jugar con frecuencias relativas jugamos con la probabilidad con que se tomarán esos valores.

¿Así de fácil?

Sí.

Pero hay que saber una cosa.

Las Variables Discretas toman un puñado de valores y pueden sumarse muy fácilmente.

E(X)=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}f(x_{i})

Donde f(x) es la función de probabilidad de la variable aleatoria discreta X.

Las Variables Continuas sin embargo toman infinitos valores, por lo que la suma no se hace así tan rápido.

Pero se hace una integral, que básicamente es una suma de infinitas cosas.

E(Y)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx

Donde f(x) es la función de densidad de la variable aleatoria continua Y.

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