Ecuaciones Diferenciales

DEFINICIÓN Y EJEMPLO DE PROBLEMA DE VALORES INICIALES

Cuando uno estudia las ecuaciones diferenciales, rápidamente se interesa también por los Problemas de Valores Iniciales (PVI).

Un problema de valores iniciales es, para empezar, un problema.

Un problema que parte de unas cosas iniciales.

No tiene gran cosa.

¿Cuáles son los elementos de un PVI?

Pues tiene dos cosas.

Ahora vamos a enterarnos del por qué y el para qué.

Filtrando las soluciones infinitas

Cuando resolvemos una ecuación diferencial, nos encontramos con que se puede dar el caso de que haya no solo una sino varias o infinitas soluciones.

En las aplicaciones de este asunto a la realidad, nosotros puede ser que no queramos todas las soluciones.

Puede ser que nos interese solo la solución que cumple unas ciertas características.

Por ejemplo, queremos la función que es solución pero además pasa por un punto específico.

Pues eso, precisamente, es un PVI: Filtrar las soluciones con una o varias condiciones.

¿Qué condición tiene un PVI?

Pues una ecuación diferencial ya nos la podemos imaginar.

Cualquiera.

Por ejemplo y’ + 2x = 0

Pero la condición, ¿qué pinta tiene?

Pues por ejemplo, que la función solución que cojamos pase por favor por el punto (1, -7).

Es decir,

y(1) = -7

¿Y si no hay ninguna función que sea solución y pase por ahí?

Pues el PVI no tiene solución, cariño.

Es como cuando buscas aparcamiento y no lo encuentras.

Vale.

¿Y cómo se resuelve un PVI?

Pues para el ejemplo que hemos puesto, nos damos cuenta rápidamente de que la solución es:

y=-x^{2}+C

Donde la letra C representa una constante cualquiera.

Si no te has dado cuenta vuelve a mirar y piénsalo bien.

Para cada valor de C, la solución es una función y distinta.

Nosotros queremos una sola: aquella que cumple la solución, si es que hay alguna.

Pues como es una condición hacemos lo que hacen todas las condiciones: imponerse.

Imponemos que queremos una función que tenga esa forma y que pase por el punto (1, -7).

Imponer eso es lo mismo que decir que para la variable x=1, la función y=-7.

Sustituimos, pues, en la solución general de la ecuación.

-7=-1^{2}+C

Y agrupando cada especie con su raza tenemos que

C=-7+1=-6

Para el valor de C=-6, hemos encontrado que la solución ha podido cumplir la condición.

Es decir pues entonces, que si la solución que ya era solución, además de ser solución cumple la condición para el valor de C encontrado, pues de lujo.

Tenemos solución para el PVI

Solución: y = -x2 – 6

Guay.

¿Todos los PVI son iguales?

Sí.

Pero con una cosa que hay que saber.

Esto era una ecuación de orden uno.

Una condición.

Y así con todas.

¿Condiciones sobre el mismo valor de la variable?

Obviamente cuando se dice condiciones sobre el mismo valor de la variable, uno se debería extrañar.

Porque claro, ¿cómo va a devolver la función dos cosas diferentes para el mismo valor que toma la variable?

Exacto, por eso la condición es referida sobre ese valor, pero asociada a las derivadas posteriores de la función.

Es decir,

Para un PVI con una ecuación de orden tres, necesitaríamos tres condiciones.

\begin{cases} y\prime \prime \prime + 3y\prime \prime = 0 \\ y(1)=0 \\ y\prime (1)=2 \\ y\prime \prime(1)=2 \end{cases}

Eso es.

Y se resuelve exactamente igual.

Buscando la solución general e imponiendo las respectivas condiciones.

Puede ser que no tenga solución, obviamente.

Sería una pérdida de tiempo ponerse a buscar una solución sin saber siquiera si vamos a encontrarla.

Y bueno, para arreglar esa cagada, tenemos que leer el capítulo siguiente.

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