Salamarkesa

APROXIMACIÓN DE BINOMIAL A NORMAL | EJEMPLOS DE EJERCICIOS RESUELTOS

Contexto: Probabilidad | Variable: Discreta y Continua

A veces, cuando tenemos entre manos una distribución binomial, puede ser que los valores de n sean tan grandes que resulta complicado calcular el número combinatorio n sobre x con métodos artesanos.

Pero existe una relación entre la distribución binomial discreta y la normal continua.

Si tenemos una variable aleatoria X de distribución binomial b(x; n, p), entonces la variable X tipificada (resultante de restar la media y partir por la desviación típica):

variable-tipificada

Tiene una función de probabilidad f(x; n, p) cuyo límite para n tendiendo a infinito se aproxima a una normal estándar:

limite-binomial

Por lo que para valores grandes de n, podemos decir que la variable X de distribución binomial se aproxima a una normal de la siguiente forma:

aproximacion-binomial-normal

Por lo general, se considera adecuada la aproximación cuando:

Pero falta una cosa.

Supongamos que queremos ver la probabilidad para el valor X = x.

En la distribución binomial, que es de variable discreta, eso está muy bonito.

La variable aleatoria X puede tomar valores x discretos.

Pero una variable continua tiene probabilidad cero para valores puntuales.

Revisar: Variable aleatoria continua.

Se hace necesario aplicar un invento, que consisiste en tomar un trozo del intervalo de una unidad en torno al valor discreto del que queramos calcular la probabilidad con la aproximación continua.

correccion-por-continuidad

De forma que aproximamos el área del rectángulo con el área del trapecio ABCD.

correccion-continuidad-integral

Vamos a ver un ejemplo práctico.

Ejemplo de aproximación de Binomial a Normal

La probabilidad de que un cierto tipo de objeto explote al caer al suelo desde una determinada altura es de 0.2

Si dejamos caer 800 de esos objetos desde esa altura, ¿cuál es la probabilidad de que exploten exactamente 160 de ellos?

Definimos un super Experimento Aleatorio.

Experimento Aleatorio: “Dejar caer 800 instancias de un objeto”.

Se observa que el experimento es una repetición de 800 ensayos de Bernoulli: “Dejar caer ese tipo de objeto”.

Con probabilidad de éxito 0.2

Por lo que la variable aleatoria continua X: “Número de éxitos – explosiones” sigue en realidad una distribución binomial de parámetros:

Por lo que P(X=160) se calcularía como la función de probabilidad evaluada en 160.

Recordemos la función de probabilidad de una binomial:

[probabilidad de éxito 160 veces] multiplicada por [probabilidad de fracaso 640 veces] multiplicada por las 800 sobre 160 formas posibles de ordenar los éxitos.

Ese número no se puede calcular manualmente, ni tampoco con una calculadora común.

¿Cómo lo hacemos entonces?

Exacto: Aproximando a una distribución normal

Es decir, tipificando la variable aleatoria y considerando la corrección por continuidad:

aproximacion-binomial-ejemplo

Teniendo que:

aproximacion-ejemplo-normal

Donde Φ representa la distribución normal estándar.

Si te has perdido, revisa los conceptos de distribución normal y tipificación.

No es tan difícil como puede parecer.

Ánimos.